Как вычислить сторону треугольника: формулы

Обновлено 10 июля 2026 г.

3 формулы помогут вычислить сторону треугольника по Пифагору, синусам и косинусам; расчет стороны треугольника с примерами и калькулятором.

Калькулятор стороны треугольника

Способ расчёта Выберите способ по известным данным.

Два катета → гипотенуза Катет a Катет b c = √(a² + b²)

Гипотенуза и катет → второй катет Гипотенуза c Катет a b = √(c² − a²). Гипотенуза должна быть больше катета.

Катет и острый угол → гипотенуза Катет Острый угол, градусы угол прилежит к катету угол противолежит катету При прилежащем угле: c = a / cos α. При противолежащем: c = a / sin α.

Две стороны и угол между ними Сторона a Сторона b Угол γ между a и b, градусы c = √(a² + b² − 2ab·cos γ)

Сторона и два угла Известная сторона a Угол α (напротив a), градусы Угол β, градусы b = a · sin β / sin α. Сумма α + β должна быть меньше 180°.

Площадь и высота Площадь S Высота h к искомой стороне a = 2S / h

Равнобедренный: основание и высота Основание b Высота h к основанию Боковая сторона a = √(h² + (b/2)²)

Длины вводите в одинаковых единицах, углы – в градусах. Результат выражен в тех же единицах длины.

Как вычислить сторону треугольника: основные способы

Вычислить сторону треугольника – значит найти её длину, зная другие параметры фигуры. В зависимости от того, какой треугольник перед вами (прямоугольный, равнобедренный, произвольный) и какие данные известны, применяются разные формулы. Ниже мы разберём все основные методы: от простой теоремы Пифагора до универсальных теорем синусов и косинусов. В конце статьи вы найдёте онлайн-калькулятор, который выполнит расчёт за секунду.

Прямоугольный треугольник: два катета и гипотенуза

Самый частый запрос – вычисление стороны в прямоугольном треугольнике. Здесь действует теорема Пифагора:

c² = a² + b², где c – гипотенуза, a и b – катеты.

Если известны оба катета, гипотенузу находят как c = √(a² + b²). Если известны гипотенуза и один катет, второй катет вычисляют по формуле:

b = √(c² – a²).

Пример. Катеты равны 6 см и 8 см. Тогда гипотенуза c = √(36 + 64) = √100 = 10 см.

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Когда известны один катет и острый угол, сторону находят через синус, косинус или тангенс. Формулы:

Гипотенуза через прилежащий катет: c = a / cos(α)
Гипотенуза через противолежащий катет: c = b / sin(α)
Катет через другой катет и угол: a = b · tg(α) или b = a · ctg(α)

Главное – правильно определить, какой катет прилежащий, а какой противолежащий относительно выбранного угла. Ошибка в этом приводит к неверному результату.

Пример. В прямоугольном треугольнике катет a = 5 см, прилежащий угол β = 30°. Тогда гипотенуза c = 5 / cos(30°) ≈ 5 / 0,8660 ≈ 5,77 см.

Произвольный треугольник: теорема косинусов

Если известны две стороны и угол между ними, третью сторону вычисляют с помощью теоремы косинусов:

c² = a² + b² – 2ab·cos(γ),

где γ – угол между сторонами a и b. После подстановки значений извлекают квадратный корень из результата.

Эта формула универсальна: она работает для любых треугольников, а при γ = 90° превращается в теорему Пифагора (cos 90° = 0).

Пример. Стороны a = 7 см, b = 9 см, угол между ними γ = 60°. Тогда c² = 49 + 81 – 2·7·9·cos(60°) = 130 – 126·0,5 = 67. Отсюда c ≈ √67 ≈ 8,19 см.

Произвольный треугольник: теорема синусов

Если известны два угла и одна сторона, удобно применить теорему синусов:

a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ).

Из этой пропорции можно выразить любую неизвестную сторону. Например, если известны сторона a и все три угла, то:

b = a · sin(β) / sin(α).

Пример. Дана сторона a = 10 см, угол α = 30°, угол β = 45°. Тогда b = 10 · sin(45°) / sin(30°) ≈ 10 · 0,7071 / 0,5 = 14,14 см.

Специальные случаи: равнобедренный и равносторонний треугольники

В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому достаточно знать одну сторону, чтобы назвать остальные.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны одинаковы. Если известны основание и высота, проведённая к основанию, боковую сторону находят как гипотенузу прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной основания и боковой стороной:

a = √(h² + (b/2)²).

Если известны только основание и один угол при основании, можно использовать тригонометрию: a = b / (2·cos(α)).

Вычисление стороны через площадь и высоту

Если известны площадь треугольника S и высота h, опущенная на искомую сторону, длину стороны определяют по формуле:

a = 2S / h.

Этот способ применим к любому треугольнику, но требует точного соответствия: высота должна быть проведена именно к той стороне, которую вы ищете.

Типичные ошибки при вычислении стороны треугольника

Путаница с углами в тригонометрических формулах. Прилежащий и противолежащий катет определяются относительно конкретного угла. Проверяйте, к какому углу относится функция.
Неправильное использование теоремы косинусов. Если угол между сторонами не задан, формула не применима. Нельзя использовать теорему косинусов для угла, лежащего напротив неизвестной стороны, если известны только две стороны и угол не между ними.
Извлечение корня из отрицательного числа. В формуле b = √(c² – a²) гипотенуза должна быть больше катета. Если подкоренное выражение отрицательно, значит, исходные данные противоречивы.
Забытая проверка на существование треугольника. Любая сторона должна быть меньше суммы двух других, но больше их разности. Если вычисленное значение не удовлетворяет этому неравенству, треугольника с такими параметрами не существует.

Когда формул недостаточно: используйте онлайн-калькулятор

Ручной расчёт по формулам требует внимательности и времени. Если нужно быстро и без ошибок вычислить сторону треугольника, воспользуйтесь нашим калькулятором. Он поддерживает все перечисленные случаи, автоматически определяет подходящую формулу и выдаёт точный результат с указанием единиц измерения. Просто введите известные данные – и получите ответ.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли вычислить сторону треугольника, если известны только три угла?

Нет, по трём углам невозможно определить длину ни одной стороны, так как углы задают только форму треугольника, но не его размер. Для расчёта сторон необходима хотя бы одна линейная величина – длина стороны, высота или радиус.

Как найти сторону прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза и один катет?

Используйте теорему Пифагора: искомый катет равен квадратному корню из разности квадрата гипотенузы и квадрата известного катета (b = √(c² – a²)). Это работает, если известный катет и гипотенуза лежат в одном треугольнике.

Чем теорема косинусов отличается от теоремы Пифагора?

Теорема Пифагора – частный случай теоремы косинусов для угла 90°. Теорема косинусов (c² = a² + b² – 2ab·cosγ) работает для любого треугольника, а при γ = 90° косинус равен нулю, и формула превращается в c² = a² + b².

Какую формулу использовать, если известны две стороны и угол между ними?

Применяйте теорему косинусов: c² = a² + b² – 2ab·cos(C), где C – угол между известными сторонами a и b. После подстановки значений найдите квадратный корень из результат, чтобы получить длину третьей стороны.

Как найти сторону в равнобедренном треугольнике без углов?

Если известны основание и высота, боковую сторону можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной основания и боковой стороной: a = √(h² + (b/2)²). Если известны только боковые стороны и основание, высота не определяется – нужна дополнительная информация.

Можно ли вычислить сторону треугольника по площади и высоте?

Да, если известна площадь S и высота h, опущенная на искомую сторону, то сторона a = 2S / h. Этот способ работает для любого треугольника, но требует точного соответствия высоты именно этой стороне.