МатематикаГеометрия

Площадь четырехугольника: формулы

Как вычислить площадь четырехугольника по формуле: через диагонали и угол, по четырем сторонам, формула Брахмагупты и Бретшнайдера.

Метод расчёта
Угол от 0° до 180°. Синус любого из четырёх углов между диагоналями одинаков.

Похожие калькуляторы и статьи

Все калькуляторы раздела «Геометрия» (262) →

Площадь четырехугольника — численная характеристика части плоскости, ограниченной четырьмя замкнутыми отрезками. Выбор формулы зависит от того, какие элементы фигуры известны: стороны, диагонали, углы. Ниже — все основные способы расчета от универсального к частным случаям.

Универсальная формула через диагонали и угол между ними

Для любого выпуклого четырехугольника, у которого известны обе диагонали и угол между ними:

S=12⋅d1⋅d2⋅sin⁡αS = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin\alpha

где d1d_1 и d2d_2 — длины диагоналей, α\alpha — любой из четырех углов между ними (синусы смежных углов равны, поэтому выбор угла на результат не влияет).

Это самый простой и универсальный способ: он не требует знания сторон. Например, если диагонали равны 6 и 8, а угол между ними составляет 30°:

S=12⋅6⋅8⋅sin⁡30∘=24⋅0,5=12S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30^\circ = 24 \cdot 0{,}5 = 12

Именно эту формулу используют в заданиях ОГЭ и ЕГЭ, где требуется найти не площадь, а один из её аргументов — например, длину диагонали.

По четырём сторонам: формулы Бретшнайдера и Брахмагупты

Если известны все четыре стороны aa, bb, cc, dd, вводится полупериметр:

p=a+b+c+d2p = \frac{a + b + c + d}{2}

Формула Бретшнайдера — общая, работает для любого четырехугольника по сторонам и двум противоположным углам α\alpha и β\beta:

S=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d)−abcd⋅cos⁡2α+β2S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - a b c d \cdot \cos^2\frac{\alpha + \beta}{2}}

Формула Брахмагупты — частный случай для четырехугольника, вписанного в окружность. В этом случае сумма противоположных углов равна 180°, косинусный член обнуляется и остается:

S=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d)S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}

Пример расчета по Брахмагупте: стороны вписанного четырехугольника равны 3, 4, 5 и 6. Полупериметр p=9p = 9, тогда:

S=(9−3)(9−4)(9−5)(9−6)=6⋅5⋅4⋅3=360≈18,97S = \sqrt{(9-3)(9-4)(9-5)(9-6)} = \sqrt{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{360} \approx 18{,}97

Важное ограничение: если фигура не вписана в окружность, применять формулу Брахмагупты нельзя — она даст неверный результат.

Через стороны и диагональ: разбиение на треугольники

Если известны четыре стороны и одна из диагоналей, диагональ разбивает четырехугольник на два треугольника с известными тремя сторонами. Площадь каждого находится по формуле Герона:

S△=p△(p△−x)(p△−y)(p△−z)S_{\triangle} = \sqrt{p_{\triangle}(p_{\triangle}-x)(p_{\triangle}-y)(p_{\triangle}-z)}

где p△p_{\triangle} — полупериметр треугольника, а xx, yy, zz — его стороны. Общая площадь четырехугольника равна сумме площадей двух треугольников.

Пример: стороны четырехугольника 5, 6, 7 и 8, диагональ между вершинами сторон 5–6 и 7–8 равна 9. Первый треугольник со сторонами 5, 6, 9 имеет полупериметр 10 и площадь 10⋅5⋅4⋅1=200≈14,14\sqrt{10 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{200} \approx 14{,}14. Второй со сторонами 7, 8, 9 — полупериметр 12, площадь 12⋅5⋅4⋅3=720≈26,83\sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} \approx 26{,}83. Итого S≈40,97S \approx 40{,}97.

Этот же метод — разбиение диагональю — единственный надежный способ для невыпуклых (самопересекающихся в вершине) четырехугольников.

Формулы для частных случаев

Для правильных четырехугольников существуют упрощенные формулы:

ФигураФормула площади
КвадратS=a2=d22S = a^2 = \dfrac{d^2}{2}
ПрямоугольникS=a⋅b=12d1d2sin⁡φS = a \cdot b = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi
ПараллелограммS=a⋅ha=absin⁡φS = a \cdot h_a = a b \sin\varphi
РомбS=a2sin⁡φ=12d1d2S = a^2 \sin\varphi = \dfrac{1}{2} d_1 d_2
ТрапецияS=a+b2⋅h=12d1d2sin⁡φS = \dfrac{a+b}{2} \cdot h = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi
ДельтоидS=12d1d2S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2

Здесь aa, bb — стороны, hh — высота, d1d_1, d2d_2 — диагонали, φ\varphi — угол между сторонами или диагоналями в зависимости от формулы. Обратите внимание: у ромба и дельтоида диагонали перпендикулярны, поэтому синус равен единице и формула через диагонали упрощается.

Разбор типовой задачи

Задание формата ОГЭ: площадь четырехугольника вычисляется по формуле S=12d1d2sin⁡αS = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha. Найдите d1d_1, если d2=12d_2 = 12, sin⁡α=512\sin\alpha = \dfrac{5}{12}, а S=22,5S = 22{,}5.

Решение — выразим нужную величину и подставим значения:

d1=2Sd2sin⁡α=2⋅22,512⋅512=455=9d_1 = \frac{2S}{d_2 \sin\alpha} = \frac{2 \cdot 22{,}5}{12 \cdot \frac{5}{12}} = \frac{45}{5} = 9

Ответ: d1=9d_1 = 9. Аналогично из этой формулы выражаются d2d_2 и sin⁡α\sin\alpha.

Частые ошибки при расчете

  • Путаница углов. В формуле через диагонали нужен именно угол между диагоналями, а не угол фигуры. Подстановка угла при вершине приводит к неверному результату.
  • Формула Брахмагупты для произвольной фигуры. Она корректна только для четырехугольников, вписанных в окружность. Проверить это по одним лишь сторонам нельзя — нужно знать, что сумма противоположных углов равна 180°.
  • Четырех сторон мало для произвольного четырехугольника. Стороны не фиксируют форму однозначно: фигуру можно «наклонять», меняя площадь. Обязательно нужен хотя бы один угол или диагональ.
  • Градусы вместо радиан. Если расчет ведется в калькуляторе или программе, где аргумент синуса — радианы, подстановка градусов даст ошибку. Перевод: радианы = градусы × π/180.
  • Нарушение условия замкнутости. Четырехугольник существует, только если наибольшая сторона меньше суммы трёх остальных. Если это не так, задача не имеет геометрического решения.

Чтобы не разбираться вручную, воспользуйтесь калькулятором выше: он сам применит нужную формулу в зависимости от введённых данных.

Часто задаваемые вопросы

Какая формула подходит для любого выпуклого четырехугольника?
Универсальная формула — через диагонали: S = ½·d₁·d₂·sin α, где d₁ и d₂ — длины диагоналей, α — угол между ними. Она работает для любого выпуклого четырехугольника, если известны обе диагонали и угол между ними.
Можно ли найти площадь четырехугольника только по четырем сторонам?
Только если четырехугольник вписан в окружность — тогда применяется формула Брахмагупты. Для произвольного четырехугольника четырех сторон недостаточно: стороны задают «гибкую» фигуру, площадь которой меняется при деформации. Нужен дополнительный элемент — хотя бы один угол или диагональ.
Чем отличается формула Брахмагупты от формулы Бретшнайдера?
Формула Бретшнайдера — общая: она работает для любого четырехугольника по сторонам и двум противоположным углам. Формула Брахмагупты — её частный случай: когда четырехугольник вписан в окружность, косинусный член обнуляется и остается корень из произведения разностей полупериметра и сторон.
В каких единицах измеряется площадь четырехугольника?
В квадратных единицах длины: если стороны заданы в метрах, площадь получится в м², если в сантиметрах — в см². Для земельных участков часто переводят в сотки (1 сотка = 100 м²) или гектары (1 га = 10 000 м²).
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника?
Самый надежный способ — разбить фигуру диагональю на два треугольника, найти площадь каждого по формуле Герона или через основание и высоту, и сложить результаты. Универсальная формула через диагонали для невыпуклых фигур напрямую не применяется.
Подойдет ли формула через диагонали для трапеции и параллелограмма?
Да, для всех выпуклых четырехугольников, включая трапецию, параллелограмм, ромб и прямоугольник, справедливо S = ½·d₁·d₂·sin α. Для ромба и квадрата диагонали перпендикулярны, поэтому формула упрощается до S = ½·d₁·d₂.