Математика Геометрия10 октября 2026 г.

Сумма углов многоугольника — формула и примеры

Формула суммы внутренних углов многоугольника: (n−2)·180°. Вывод через треугольники, таблица сумм для 3–12 сторон, угол правильного n-угольника, примеры задач.

Число сторон n Целое число от 3 до 30. Ползунок ниже меняет то же значение.

Из вершины A₁ выходят 3 диагонали — они делят шестиугольник на 4 треугольника.

Сумма внутренних углов 720° (6 − 2) · 180° = 720°

Угол правильного многоугольника: 120°
Внешний угол правильного многоугольника: 60°
Сумма внешних углов, по одному на вершину: 360°
Треугольников при разбиении: 4
Диагоналей из одной вершины: 3
Всего диагоналей в многоугольнике: 9

Обратная задача: найти число сторон по сумме углов

Если сумма внутренних углов известна, число сторон находят по обратной формуле n = S ÷ 180° + 2.

Сумма внутренних углов, ° Сумма всегда кратна 180°. Например: 1080, 1440, 1800.

n = 1 080° ÷ 180° + 2 = 8 — восьмиугольник. Если многоугольник правильный, каждый его угол равен 135°.

Все калькуляторы раздела «Геометрия» (252) →

Формула суммы углов многоугольника

Сумма внутренних углов многоугольника зависит только от количества его сторон $n$ и находится по одной формуле:

S = (n - 2) \cdot 180^\circ

где $S$ — сумма внутренних углов, $n$ — число сторон (оно же число углов и вершин), $n \ge 3$ .

Формула справедлива для любого выпуклого многоугольника, а также для невыпуклого, пока его контур замкнут и не пересекает сам себя. От формы и размеров фигуры сумма не зависит: у квадрата и у любого другого четырёхугольника она одна и та же — 360°.

Если же известна сумма и нужно найти число сторон, формула обращается:

n = \frac{S}{180^\circ} + 2

Как выводится формула: разбиение на треугольники

База известна из школьного курса: сумма углов треугольника равна 180°. Идея вывода — свести любой многоугольник к нескольким треугольникам.

Способ 1. Диагонали из одной вершины. Возьмём выпуклый $n$ -угольник и выберем вершину $A_1$ . Проведём из неё диагонали ко всем несоседним вершинам. Соседних вершин две, плюс сама вершина — значит, диагоналей получится $n - 3$ , и каждая отсекает от фигуры по треугольнику. Всего образуется $n - 2$ треугольника.

Все углы этих треугольников в сумме составляют в точности все внутренние углы многоугольника, а сумма углов каждого треугольника равна 180°. Отсюда:

S = (n - 2) \cdot 180^\circ

Способ 2. Внутренняя точка. Отметим внутри многоугольника точку $O$ и соединим её отрезками со всеми $n$ вершинами. Получится $n$ треугольников, сумма углов которых равна $n \cdot 180°$ . Но в эту сумму входит полный угол при точке $O$ , равный 360°, — он не относится к углам многоугольника. Вычитаем его:

n \cdot 180^\circ - 360^\circ = (n - 2) \cdot 180^\circ

Результат совпадает — формула доказана. Заметим, что при $n = 3$ она автоматически даёт 180°: треугольник разбивать не нужно, он и так треугольник.

Готовая таблица: от треугольника до двенадцатиугольника

Сторон $n$	Многоугольник	Сумма углов	Угол правильного
3	Треугольник	180°	60°
4	Четырёхугольник	360°	90°
5	Пятиугольник	540°	108°
6	Шестиугольник	720°	120°
7	Семиугольник	900°	≈ 128,6°
8	Восьмиугольник	1080°	135°
9	Девятиугольник	1260°	140°
10	Десятиугольник	1440°	144°
12	Двенадцатиугольник	1800°	150°

Каждое следующее значение больше предыдущего ровно на 180° — столько добавляет новая сторона с новым треугольником при разбиении.

Угол правильного многоугольника

У правильного многоугольника все стороны и углы равны, поэтому каждый угол равен общей сумме, поделённой на $n$ :

\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}

Вторая запись удобнее для быстрых расчётов и хорошо показывает закономерность: с ростом $n$ угол приближается к 180°, а внешний угол $360°/n$ уменьшается.

Важно: делить сумму на $n$ можно только у правильной фигуры. У неправильного многоугольника углы различны, и деление даст лишь среднее значение, которое не равно ни одному реальному углу.

Примеры решения задач

Пример 1. Найти сумму углов шестиугольника и неизвестный угол.

Сумма: $(6 - 2) \cdot 180° = 720°$ . Пусть пять углов равны 110°, 95°, 130°, 120° и 125°, а шестой неизвестен. Их сумма: $110 + 95 + 130 + 120 + 125 = 580°$ . Тогда шестой угол: $720° - 580° = 140°$ .

Пример 2. Найти число сторон по сумме углов.

Сумма внутренних углов равна 1980°. Подставляем в обратную формулу: $n = 1980/180 + 2 = 11 + 2 = 13$ . Это тринадцатиугольник.

Пример 3. Найти угол правильного восьмиугольника.

Сумма углов: $(8 - 2) \cdot 180° = 1080°$ . Каждый угол: $1080°/8 = 135°$ . Проверка через вторую запись: $180° - 360°/8 = 180° - 45° = 135°$ .

Сумма внешних углов

Внешний угол — угол, смежный с внутренним: он образуется продолжением стороны за вершину. Если брать по одному внешнему углу при каждой вершине, их сумма у любого выпуклого многоугольника постоянна и равна 360° — независимо от числа сторон.

Логика простая: внутренний и внешний углы вместе дают развёрнутый угол 180°, по всем вершинам выходит $n \cdot 180°$ . Вычитаем уже известную сумму внутренних углов $(n-2) \cdot 180°$ — остаётся ровно 360°. Отсюда же и каждый внешний угол правильного многоугольника: $360°/n$ .

Сравните: сумма внутренних углов растёт с числом сторон, а сумма внешних — всегда 360°. Это свойство лежит в основе, например, подсчёта поворотов при обходе контура.

Типичные ошибки

Деление суммы на $n$ у неправильного многоугольника. Так находится среднее, а не конкретный угол. Каждый угол ищут измерением или вычитанием остальных из общей суммы.
Подстановка 180° вместо $(n-2) \cdot 180°$ . Правило «вычесть из 180°» работает только для треугольника; для остальных фигур вычитать нужно из полной суммы.
Путаница внутренних и внешних углов. 360° — это сумма внешних углов, взятых по одному на вершину. Сумма внутренних всегда больше и растёт с $n$ .
Применение формулы к самопересекающимся контурам. Пентаграмма или «звезда» с пересекающимися сторонами — не простой многоугольник, и формула $(n-2) \cdot 180°$ к таким фигурам напрямую не применяется.
Потеря двойки в обратной задаче. Найдя $S/180°$ , не забудьте прибавить 2: частное от деления — это $n - 2$ , а не само $n$ .

Часто задаваемые вопросы

Работает ли формула для невыпуклого многоугольника?

Да, если контур замкнут и не пересекает сам себя. Вогнутые углы и «впадины» не ломают формулу: сумма внутренних углов по-прежнему равна (n−2)·180°. Требование выпуклости в школьной формулировке — условие простейшего доказательства, а не ограничение самой формулы.

Чему равна сумма углов многоугольника в радианах?

В радианах формула принимает вид S = (n−2)π, поскольку развёрнутый угол 180° равен π радиан. Например, сумма углов шестиугольника составляет 4π ≈ 12,57 радиан, а четырёхугольника — 2π радиан, то есть ровно один полный оборот.

Почему из одной вершины можно провести ровно n−3 диагонали?

Диагональ соединяет вершину с любой другой, кроме двух соседних — с ними вершину уже связывают стороны фигуры — и кроме неё самой. Из n вершин остаются n−3 подходящих, столько же диагоналей выходит из одной вершины. Именно они разбивают многоугольник на n−2 треугольника.

Можно ли найти каждый угол неправильного многоугольника, разделив сумму на n?

Нет. Деление суммы на n даёт лишь среднее значение, а у неправильного многоугольника углы различаются. Конкретный угол находят измерением либо вычитанием известных углов из общей суммы. Делить на n корректно только для правильного многоугольника, где все углы равны.

Зависит ли сумма углов от формы и размеров многоугольника?

Нет. Сумма зависит только от количества сторон: у любого четырёхугольника она равна 360°, будь то квадрат, параллелограмм или вогнутый контур с четырьмя вершинами. Размеры фигуры и отдельные углы могут меняться как угодно, но их сумма остаётся постоянной.