Площадь треугольника по равным сторонам
Стороны треугольника равны — это равносторонний треугольник. Формула площади по стороне, расчёт с примерами и пошаговое решение задач.
Основная формула площади
Когда все стороны треугольника равны, фигура является равносторонней. Площадь такого треугольника рассчитывается по формуле:
S = (a² √3) / 4
где a — длина любой стороны, S — площадь.
Эта формула выводится из высоты, проведённой к основанию: высота равна (a √3) / 2, а площадь равна половине произведения основания на высоту.
Расчёт через высоту
Высоту равностороннего треугольника находят по формуле h = (a √3) / 2. После этого площадь вычисляют стандартным способом:
S = a × h / 2
Подстановка даёт тот же результат, что и предыдущая формула. Способ удобен, если высота уже известна из чертежа.
Формула Герона при равных сторонах
Если известны три стороны, можно применить формулу Герона:
S = √[p (p − a) (p − b) (p − c)]
где p = (a + b + c) / 2 — полупериметр.
При a = b = c = x полупериметр p = 3x/2, и формула упрощается до S = (x² √3) / 4. В задачах с равными сторонами эту формулу используют реже из-за лишних шагов.
Пример расчёта
Пусть сторона равностороннего треугольника равна 8 см.
Вычисляем по основной формуле:
S = (8² × √3) / 4 = (64 × 1,732) / 4 ≈ 27,712 см²
Через высоту:
h = (8 × 1,732) / 2 ≈ 6,928 см
S = 8 × 6,928 / 2 ≈ 27,712 см²
Результаты совпадают.
Когда применять эти формулы
Формулы подходят для любых задач, где указаны равные стороны и требуется только площадь. Если в условии даны углы или радиусы окружностей, можно использовать дополнительные выражения, но при равенстве сторон основная формула обычно достаточно точна и быстра.