Средняя линия трапеции: найти основание

Формула средней линии трапеции

Средняя линия (или средняя линия) трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Он параллеллен обоим основаниям, а его длина равна полусумме их длин.

Если обозначить основания трапеции как $a$ и $b$, а длину средней линии как $m$, получаем основную формулу:

$$m = \frac{a + b}{2}$$

Отсюда легко вывести, что сумма оснований в два раза больше средней линии:

$$a + b = 2m$$

Как найти неизвестное основание

Если известны средняя линия и одно из оснований, второе основание находится за один шаг. Достаточно выразить его из формулы:

$$b = 2m - a$$

где:

• $m$ — длина средней линии;
• $a$ — известное основание;
• $b$ — искомое основание.

Алгоритм действий:

1. Умножьте длину средней линии на 2.
2. Из полученного числа вычтите длину известного основания.
3. Результат — длина второго основания.

Можно ли найти оба основания, зная только среднюю линию?

Нет. Если дана только средняя линия, можно узнать лишь сумму оснований $a + b = 2m$, но не сами основания. Например, при $m = 10$ см сумма оснований равна 20 см. Это могут быть пары 6 и 14 см, 8 и 12 см, 9 и 11 см и многие другие.

Чтобы определить каждое основание по отдельности, нужно дополнительное условие:

• одно основание в несколько раз больше другого;
• основания относятся как известные числа;
• известна разность оснований;
• даны другие элементы трапеции: высота, диагональ, углы.

Решение задач: примеры

Пример 1. Известно одно основание и средняя линия

Задано: средняя линия $m = 18$ см, большее основание $a = 26$ см. Найти меньшее основание $b$.

$$b = 2m - a = 2 \cdot 18 - 26 = 36 - 26 = 10 \text{ см}$$

Ответ: второе основание равно 10 см.

Пример 2. Основания относятся как 2 : 3

Средняя линия равна $24$ дм. Основания относятся как $2 : 3$. Найти их длины.

Пусть $a = 2x$, $b = 3x$. Тогда:

$$a + b = 2m$$ $$2x + 3x = 2 \cdot 24$$ $$5x = 48$$ $$x = 9{,}6$$

Следовательно:

$$a = 2x = 19{,}2 \text{ дм}$$ $$b = 3x = 28{,}8 \text{ дм}$$

Ответ: основания равны 19,2 дм и 28,8 дм.

Пример 3. Дано только средняя линия

Средняя линия трапеции $m = 15$ см. Можно ли найти основания?

Только сумму:

$$a + b = 2 \cdot 15 = 30 \text{ см}$$

Конкретные значения $a$ и $b$ определить нельзя без дополнительных данных.

Частые ошибки

• Путают среднюю линию трапеции со средней линией треугольника. В трапеции используется полусумма оснований, а не половина одной стороны.
• Пытаются найти оба основания по одной только средней линии. Это возможно, только если есть ещё одно условие.
• Не умножают среднюю линию на 2, а сразу вычитают известное основание.
• Перепутывают основания с боковыми сторонами. В формуле участвуют только параллельные стороны.

Быстрая проверка

Если оба основания найдены, проверьте себя по формуле средней линии:

$$m = \frac{a + b}{2}$$

Если результат совпадает с заданным значением $m$, решение верно.