Как рассчитать абсолютную погрешность средней плотности

Формула абсолютной погрешности средней плотности

Средняя плотность тела рассчитывается по формуле ρ = m / V, где m – масса, V – объём. При измерении обеих величин с погрешностями Δm и ΔV возникает погрешность и в самой плотности.

Абсолютная погрешность плотности:

Δρ = ρ × (Δm / m + ΔV / V)

Эта формула следует из правила сложения относительных погрешностей: если ρ = m / V, то относительная погрешность ερ = εm + εV, где ε = Δ / значение.

Откуда берётся формула

Плотность – это частное двух величин. Для произведения и частного относительные погрешности складываются:

• Δm / m – относительная погрешность массы
• ΔV / V – относительная погрешность объёма

Умножая сумму относительных погрешностей на само значение плотности, получаем абсолютную погрешность.

Пример расчёта

Дано: тело массой m = 265 г измерили с погрешностью Δm = 1 г, объём V = 100 см³ – с погрешностью ΔV = 1 см³.

Решение:

1. Средняя плотность: ρ = 265 / 100 = 2,65 г/см³

2. Относительные погрешности:

   • Δm / m = 1 / 265 ≈ 0,00377
   • ΔV / V = 1 / 100 = 0,01

3. Абсолютная погрешность:

   • Δρ = 2,65 × (0,00377 + 0,01) = 2,65 × 0,01377 ≈ 0,0365 г/см³

Результат с учётом погрешности: ρ = 2,65 ± 0,04 г/см³.

Типичные ошибки

• Вычитание погрешностей. Некоторые пытаются вычесть относительные погрешности: это неверно. Формула даёт максимальную погрешность, поэтому складываем.
• Игнорирование единиц. Δm и ΔV в граммах и кубических сантиметрах, но при умножении на ρ (г/см³) результат автоматически получается в г/см³.
• Округление до нуля. Если погрешность массы очень мала относительно самой массы (например, 1 г при 10 кг), её всё равно учитывают в формуле.

Как проверить результат

Сравните полученное значение плотности с табличным значением плотности материала. Если ρ + Δρ < ρвещества, то тело точно содержит полость (даже с учётом погрешности плотность ниже табличной). Если диапазоны пересекаются (ρтела ± Δρ перекрывает ρ_вещества) – однозначный вывод о полости сделать нельзя.