Рассчитать внутреннее сопротивление источника

При подключении лампочки, мотора или другого потребителя к батарейке её выходное напряжение всегда снижается. Этот эффект связан с тем, что часть энергии тратится на преодоление сопротивления внутри самого элемента питания. Чтобы точно спроектировать электрическую схему или оценить износ аккумулятора, необходимо рассчитать внутреннее сопротивление источника тока.

Внимание: При работе с реальными электрическими цепями строго соблюдайте правила электробезопасности; преднамеренное короткое замыкание мощных аккумуляторов может привести к их перегреву, возгоранию или взрыву.

Что такое внутреннее сопротивление источника

Любой реальный источник электрической энергии (гальванический элемент, аккумулятор, генератор) обладает собственным сопротивлением. Его называют внутренним сопротивлением и обозначают строчной буквой $r$, в отличие от внешнего сопротивления нагрузки, которое обозначается заглавной $R$.

Физически это сопротивление материалов, из которых изготовлен источник:

• В батарейках и аккумуляторах – это сопротивление электролита, электродов и контактных узлов.
• В генераторах – сопротивление медного провода обмоток.

В эквивалентных схемах реальный источник представляют в виде идеального генератора с электродвижущей силой (ЭДС, обозначается как $\mathcal{E}$ или $E$) и последовательно подключенного к нему резистора с сопротивлением $r$.

Полный расчет параметров источника питания (ЭДС и внутреннего сопротивления) можно выполнить на калькуляторе выше. Инструмент мгновенно обрабатывает результаты измерений напряжений и токов, избавляя от ручных вычислений систем уравнений.

Как рассчитать внутреннее сопротивление по закону Ома

Базовым уравнением для анализа замкнутого контура является закон Ома для полной цепи. Он связывает ЭДС ($\mathcal{E}$), силу тока в цепи ($I$), внешнее сопротивление нагрузки ($R$) и внутреннее сопротивление источника ($r$):

$$I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$$

Если преобразовать эту формулу, мы увидим, как распределяется напряжение в цепи. Электродвижущая сила расходуется на падение напряжения на нагрузке ($U = I \cdot R$) и падение напряжения внутри самого источника ($U_{внутр} = I \cdot r$):

$$\mathcal{E} = U + I \cdot r$$

Отсюда получаем основную формулу для расчета внутреннего сопротивления:

$$r = \frac{\mathcal{E} - U}{I}$$

Где:

• $r$ – внутреннее сопротивление источника (Ом);
• $\mathcal{E}$ – электродвижущая сила источника (В) – это напряжение на клеммах при отсутствии нагрузки (ток равен нулю);
• $U$ – рабочее напряжение на клеммах источника под нагрузкой (В);
• $I$ – сила тока в цепи (А).

Основные методы определения внутреннего сопротивления

Поскольку измерить $r$ напрямую мультиметром в режиме омметра невозможно (прибор сгорит или выдаст ошибку из-за стороннего напряжения), используют косвенные методы.

1. Метод двух нагрузок (метод двух измерений)

Это наиболее безопасный и распространенный на практике метод. Он не требует создания режима короткого замыкания и подходит для любых аккумуляторов.

Алгоритм действий:

1. Подключите к источнику первую нагрузку с сопротивлением $R_1$. Измерьте ток в цепи $I_1$ и напряжение на клеммах $U_1$.
2. Замените нагрузку на другую – с сопротивлением $R_2$. Измерьте ток $I_2$ и напряжение $U_2$.
3. Рассчитайте внутреннее сопротивление по формуле:

$$r = \frac{U_1 - U_2}{I_2 - I_1}$$

Если вместо токов известны точные значения сопротивлений нагрузок $R_1$ и $R_2$, а также соответствующие им напряжения, формула принимает вид:

$$r = \frac{U_2 R_1 - U_1 R_2}{U_1 - U_2}$$

2. Метод холостого хода и короткого замыкания

Этот метод чаще применяется в теоретических задачах по физике (например, при подготовке к ОГЭ/ЕГЭ), так как для большинства реальных батарей короткое замыкание является разрушительным режимом.

1. В режиме холостого хода (ток нагрузки равен нулю, цепь разомкнута) измеряют напряжение на клеммах. Оно будет равно ЭДС источника: $U_{хх} = \mathcal{E}$.
2. На короткий промежуток времени замыкают клеммы источника через амперметр с пренебрежимо малым сопротивлением и фиксируют ток короткого замыкания ($I_{кз}$).
3. Вычисляют значение по формуле:

$$r = \frac{\mathcal{E}}{I_{кз}}$$

Практический пример расчета

Допустим, необходимо определить внутреннее сопротивление литий-ионного аккумулятора.

1. Измерив напряжение на клеммах аккумулятора без нагрузки высокочувствительным вольтметром, мы получили значение ЭДС: $\mathcal{E} = 4,2\text{ В}$.
2. Затем подключили к аккумулятору нагрузочный резистор. Под нагрузкой вольтметр показал рабочее напряжение $U = 3,8\text{ В}$.
3. Включенный в цепь амперметр зафиксировал силу тока $I = 2\text{ А}$.

Применим базовую расчетную формулу:

$$r = \frac{\mathcal{E} - U}{I} = \frac{4,2 - 3,8}{2} = \frac{0,4}{2} = 0,2\text{ Ом}$$

Внутреннее сопротивление данного аккумулятора составляет $0,2\text{ Ом}$. Это указывает на то, что при протекании каждого ампера тока на нагрев самой батареи будет уходить $0,2\text{ В}$ напряжения.