Что такое вектор

Вектор — упорядоченный набор чисел (компонент), который одновременно описывает величину (модуль) и направление в пространстве. Записывается как столбец или в виде строки в круглых скобках, например A = (3, ‑2, 5).

Основные операции с векторами

Для любого вектора доступны следующие базовые действия:

вычисление длины (модуля);
сложение и вычитание;
умножение на скаляр;
скалярное (dot) произведение;
векторное (cross) произведение (только в 3D);
нахождение угла между векторами;
проекция одного вектора на другой;
нормализация (получение единичного вектора);
проверка ортогональности и коллинеарности.

Длина (модуль) вектора

| \mathbf{A} | = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}

Для плоского вектора A = (a₁, a₂) формула упрощается до √(a₁² + a₂²). Длина измеряется в тех же единицах, что и компоненты.

Сложение и вычитание

\mathbf{A} \pm \mathbf{B} = (a_1 \pm b_1,\; a_2 \pm b_2,\; \dots,\; a_n \pm b_n)

Операции выполняются покомпонентно, поэтому векторы должны иметь одинаковую размерность.

Умножение на скаляр

k\,\mathbf{A} = (k a_1,\; k a_2,\; \dots,\; k a_n)

Скаляр k может быть как положительным, так и отрицательным; знак меняет направление вектора.

Скалярное (dot) произведение

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = |\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}| \cos\theta

Результат — число. Если скалярное произведение равно 0, векторы перпендикулярны.

Векторное (cross) произведение (только в 3D)

\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr)

Полученный вектор перпендикулярен обоим исходным, а его модуль равен площади параллелограмма, построенного на A и B.

Угол между векторами

\theta = \arccos\!\left(\frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}|}\right)

Угол измеряется в радианах; при необходимости переводят в градусы, умножив на 180/π.

Проекция вектора

\operatorname{proj}_{\mathbf{B}} \mathbf{A} = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{B}|^2}\,\mathbf{B}

Проекция — вектор, лежащий на B и показывающий, какую часть A можно «отбросить» в направлении B.

Единичный (нормализованный) вектор

\hat{\mathbf{A}} = \frac{\mathbf{A}}{|\mathbf{A}|}

Единичный вектор имеет модуль 1 и сохраняет направление исходного вектора; часто используется для задания направления без величины.

Проверка ортогональности и коллинеарности

Ортогональность: $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 0$ .
Коллинеарность (в 2D): $\mathbf{A} \times \mathbf{B} = 0$ ; в 3D — векторы являются линейными зависимыми, т.е. один = k·другой.

Пример расчёта

Пусть

$\mathbf{A} = (3,\,4,\,0), \qquad \mathbf{B} = (1,\,2,\,2).$

Длина A
$|\mathbf{A}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = 5.$
Скалярное произведение
$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 3\cdot1 + 4\cdot2 + 0\cdot2 = 3 + 8 + 0 = 11.$
Угол между A и B
$\theta = \arccos\!\left(\frac{11}{5\cdot\sqrt{1^2+2^2+2^2}}\right) = \arccos\!\left(\frac{11}{5\cdot3}\right) \approx 0.84\ \text{рад} \approx 48^\circ.$
Векторное произведение (только 3D)
$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (4\cdot2 - 0\cdot2,\; 0\cdot1 - 3\cdot2,\; 3\cdot2 - 4\cdot1) = (8,\; -6,\; 2).$
Проекция A на B
$\operatorname{proj}_{\mathbf{B}} \mathbf{A} = \frac{11}{1^2+2^2+2^2}\,\mathbf{B} = \frac{11}{9}\,(1,2,2) \approx (1.22,\;2.44,\;2.44).$
Единичный вектор A
$\hat{\mathbf{A}} = \frac{1}{5}(3,4,0) = (0.6,\,0.8,\,0).$

Эти шаги показывают, как последовательно применять формулы к конкретным числам.

Как пользоваться онлайн‑калькулятором

Ввод: введите координаты векторов A и B через запятую (например, 3,4,0 и 1,2,2).
Выбор операции: в выпадающем списке укажите нужную задачу – «длина», «скалярное произведение», «угол», «векторное произведение» и т.д.
Настройка точности: задайте количество знаков после запятой, если требуется.
Рассчитать: нажмите кнопку «=». Система выдаст числовой результат и пошаговое объяснение, которое можно использовать для проверки своих вычислений.

С помощью этих инструкций любой пользователь — школьник, студент или инженер — сможет быстро и без ошибок выполнять векторные расчёты онлайн.

Часто задаваемые вопросы

Как вычислить длину (модуль) вектора?

Длину вектора находят по формуле √(x² + y² + z²) для 3‑мерного вектора или √(x² + y²) для плоского. Сначала записывают координаты, возводят их в квадрат, суммируют и берут квадратный корень.

Как определить угол между двумя векторами?

Угол φ вычисляют через скалярное произведение: cos φ = (A·B) / (|A|·|B|). После нахождения косинуса берут арккосинус (arccos) и переводят результат в градусы, если требуется.

Что такое скалярное и векторное произведения?

Скалярное произведение (dot product) возвращает число и показывает, насколько векторы направлены в одну сторону. Векторное произведение (cross product) создаёт новый вектор, перпендикулярный обоим исходным, и определяет площадь параллелограмма.

Как проверить, что два вектора ортогональны?

Два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Это условие удобно использовать в проверке перпендикулярности в задачах геометрии и физики.

Можно ли рассчитывать векторы в трёх измерениях?

Да, все формулы работают и в 3‑мерном пространстве. Для векторного произведения требуется именно 3‑мерные векторы, а остальные операции (длина, сумма, скалярное произведение) применимы к любой размерности.

Какие типичные ошибки при расчёте векторов?

Часто забывают привести векторы к одинаковой размерности, перепутывают порядок в векторном произведении (оно антикоммутативно) и используют градусы вместо радианов в тригонометрических функциях.

Похожие калькуляторы и статьи