Рассчитать векторы онлайн: формулы и примеры

Что такое вектор

Вектор — упорядоченный набор чисел (компонент), который одновременно описывает величину (модуль) и направление в пространстве. Записывается как столбец или в виде строки в круглых скобках, например A = (3, ‑2, 5).

Основные операции с векторами

Для любого вектора доступны следующие базовые действия:

• вычисление длины (модуля);
• сложение и вычитание;
• умножение на скаляр;
• скалярное (dot) произведение;
• векторное (cross) произведение (только в 3D);
• нахождение угла между векторами;
• проекция одного вектора на другой;
• нормализация (получение единичного вектора);
• проверка ортогональности и коллинеарности.

Длина (модуль) вектора

Для плоского вектора A = (a₁, a₂) формула упрощается до √(a₁² + a₂²). Длина измеряется в тех же единицах, что и компоненты.

Сложение и вычитание

Операции выполняются покомпонентно, поэтому векторы должны иметь одинаковую размерность.

Умножение на скаляр

Скаляр k может быть как положительным, так и отрицательным; знак меняет направление вектора.

Скалярное (dot) произведение

Результат — число. Если скалярное произведение равно 0, векторы перпендикулярны.

Векторное (cross) произведение (только в 3D)

Полученный вектор перпендикулярен обоим исходным, а его модуль равен площади параллелограмма, построенного на A и B.

Угол между векторами

Угол измеряется в радианах; при необходимости переводят в градусы, умножив на 180/π.

Проекция вектора

Проекция — вектор, лежащий на B и показывающий, какую часть A можно «отбросить» в направлении B.

Единичный (нормализованный) вектор

Единичный вектор имеет модуль 1 и сохраняет направление исходного вектора; часто используется для задания направления без величины.

Проверка ортогональности и коллинеарности

• Ортогональность: $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 0$.
• Коллинеарность (в 2D): $\mathbf{A} \times \mathbf{B} = 0$; в 3D — векторы являются линейными зависимыми, т.е. один = k·другой.

Пример расчёта

Пусть

$\mathbf{A} = (3,\,4,\,0), \qquad \mathbf{B} = (1,\,2,\,2).$

1. Длина A

   $$|\mathbf{A}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = 5.$$

2. Скалярное произведение

   $$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 3\cdot1 + 4\cdot2 + 0\cdot2 = 3 + 8 + 0 = 11.$$

3. Угол между A и B

   $$\theta = \arccos\!\left(\frac{11}{5\cdot\sqrt{1^2+2^2+2^2}}\right) = \arccos\!\left(\frac{11}{5\cdot3}\right) \approx 0.84\ \text{рад} \approx 48^\circ.$$

4. Векторное произведение (только 3D)

   $$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (4\cdot2 - 0\cdot2,\; 0\cdot1 - 3\cdot2,\; 3\cdot2 - 4\cdot1) = (8,\; -6,\; 2).$$

5. Проекция A на B

   $$\operatorname{proj}_{\mathbf{B}} \mathbf{A} = \frac{11}{1^2+2^2+2^2}\,\mathbf{B} = \frac{11}{9}\,(1,2,2) \approx (1.22,\;2.44,\;2.44).$$

6. Единичный вектор A

   $$\hat{\mathbf{A}} = \frac{1}{5}(3,4,0) = (0.6,\,0.8,\,0).$$

Эти шаги показывают, как последовательно применять формулы к конкретным числам.

Как пользоваться онлайн‑калькулятором

1. Ввод: введите координаты векторов A и B через запятую (например, 3,4,0 и 1,2,2).
2. Выбор операции: в выпадающем списке укажите нужную задачу – «длина», «скалярное произведение», «угол», «векторное произведение» и т.д.
3. Настройка точности: задайте количество знаков после запятой, если требуется.
4. Рассчитать: нажмите кнопку «=». Система выдаст числовой результат и пошаговое объяснение, которое можно использовать для проверки своих вычислений.

С помощью этих инструкций любой пользователь — школьник, студент или инженер — сможет быстро и без ошибок выполнять векторные расчёты онлайн.