Калькулятор неравенств

Неравенство выглядит почти как уравнение, пока не встречается деление на −3. В этот момент знак «больше» внезапно становится «меньше», и вся запись превращается в источник ошибок. Калькулятор неравенств помогает избежать таких промахов: он решает задачу по шагам, показывает смену знаков и оформляет ответ в привычных интервалах.

Введите выражение в поле выше и нажмите «Рассчитать». Калькулятор поддерживает линейные, квадратные, рациональные и абсолютные неравенства, автоматически переводит результат в интервальную запись и строит схему на числовой прямой.

Что такое неравенство

Неравенство – это математическое соотношение, связывающее два выражения знаками <, >, ≤ или ≥. Если уравнение чаще всего имеет конечное число корней, то неравенство описывает целый диапазон значений.

Основные правила работы:

• любой член можно перенести из одной части в другую со сменой знака, направление неравенства при этом не меняется;
• обе части можно умножить или разделить на одно и то же положительное число без изменения знака;
• обе части можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но знак неравенства обязательно меняется на противоположный.

Последнее правило – главная причина ошибок при ручном решении.

Как решить линейное неравенство?

Линейное неравенство имеет вид ax + b > c (вместо > может стоять любой другой знак). Алгоритм решения буквально повторяет решение уравнения с одной оговоркой.

Пример 1. 2x + 5 ≤ 13

Вычтем 5 из обеих частей: 2x ≤ 8. Разделим на 2 (число положительное, знак оставляем): x ≤ 4. Ответ в интервалах: (−∞; 4].

Пример 2. −3x + 7 > 1

Вычтем 7: −3x > −6. Разделим на −3 (отрицательное!): x < 2. Знак «больше» превратился в «меньше». Ответ: (−∞; 2).

Если после упрощения переменная исчезает, проверяем истинность числового утверждения. 0·x + 4 < 2 превращается в 4 < 2 – ложь, значит, решений нет. Если получается 4 > 2 – истина, решением будут все действительные числа.

Интервальная запись: как читать и писать

Ответы к неравенствам принято записывать через интервалы. Скобки показывают, входит ли граничная точка в решение.

Бесконечность всегда записывается с круглой скобкой, потому что она недостижима. Если решение состоит из двух несвязных участков, используют символ объединения ∪. Например, x < 0 или x > 4 превращается в (−∞; 0) ∪ (4; +∞).

Квадратные неравенства и метод интервалов

Когда в неравенстве появляется x², простой перенос членов уже не работает. Здесь нужен метод интервалов (метод промежутков).

Алгоритм:

1. Приведите неравенство к виду ax² + bx + c > 0 (или <, ≥, ≤).
2. Найдите корни соответствующего уравнения ax² + bx + c = 0.
3. Отметьте корни на числовой прямой. Они делят прямую на интервалы.
4. Определите знак выражения в каждом интервале. Достаточно подставить любую точку из промежутка.
5. Выберите интервалы, которые удовлетворяют исходному знаку неравенства.

Пример. x² − x − 6 > 0

Корни уравнения x² − x − 6 = 0 равны −2 и 3. Прямая разбивается на три интервала: (−∞; −2), (−2; 3), (3; +∞).

• Проверяем x = −3: (−3)² − (−3) − 6 = 6 > 0 – знак плюс.
• Проверяем x = 0: 0 − 0 − 6 = −6 < 0 – знак минус.
• Проверяем x = 4: 16 − 4 − 6 = 6 > 0 – знак плюс.

Исходное неравенство требует > 0, поэтому берём интервалы со знаком плюс. Ответ: (−∞; −2) ∪ (3; +∞).

Если дискриминант отрицательный, корней нет. Значит, выражение ax² + bx + c всюду положительно (при a > 0) или всюду отрицательно (при a < 0).

Абсолютные неравенства: два правила

Неравенства с модулем сводятся к двум шаблонам:

• |A| < b (где b > 0) равносильно двойному неравенству −b < A < b. Решение – ограниченный интервал.
• |A| > b (где b > 0) равносильно совокупности A < −b или A > b. Решение – два луча.

Пример. |x − 2| ≤ 5 превращается в −5 ≤ x − 2 ≤ 5. Прибавляем 2 ко всем частям: −3 ≤ x ≤ 7. Ответ: [−3; 7].

Если правая часть b ≤ 0, неравенство |A| < b не имеет решений (модуль неотрицателен), а |A| > b верно при всех A, для которых выражение определено.

Рациональные неравенства

Дробно-рациональное неравенство вида p(x)/q(x) > 0 решается тем же методом интервалов, но с важной поправкой: точки, где знаменатель q(x) = 0, всегда исключаются из ответа, даже при знаке ≥ или ≤. Эти точки называют критическими.

Алгоритм:

1. Найдите нули числителя (включаются при ≥ / ≤, не включаются при > / <).
2. Найдите нули знаменателя (никогда не включаются – это точки разрыва).
3. Отметьте все критические точки на прямой и определите знак дроби на каждом интервале.
4. Выберите нужные интервалы.

Пример. (x + 1)/(x − 2) > 0

Нули числителя: x = −1. Нули знаменателя: x = 2. Проверяем знак на интервалах:

• x = −2: (−1)/(−4) = 0,25 > 0 – подходит;
• x = 0: 1/(−2) = −0,5 < 0 – не подходит;
• x = 3: 4/1 = 4 > 0 – подходит.

Ответ: (−∞; −1] ∪ (2; +∞). Точка −1 включена (знак > позволяет включить нуль числителя), точка 2 исключена.

Графика на числовой прямой

Визуализация помогает быстро проверить себя.

• Строгие знаки (<, >) обозначаются выколотой (открытой) точкой на прямой.
• Нестрогие знаки (≤, ≥) – закрашенной (закрытой) точкой.
• Подходящая область заштриховывается или отмечается стрелкой.

Для систем из двух неравенств ищите пересечение: только те участки, где заштриховано оба условия одновременно. Для совокупности (союза) – объединение: подходит любая заштрихованная область.

Когда решений нет или их бесконечно много

После всех преобразований может получиться числовое утверждение без переменной.

• 0·x + 3 < 1 → 3 < 1 – ложь. Решений нет (∅).
• 0·x + 3 > 1 → 3 > 1 – истина. Решение – все действительные числа (−∞; +∞).

То же возможно в системах. Если одно неравенство требует x > 5, а другое x < 2, их пересечение пусто. Если совокупность требует x > 1 или x < 10, объединение покрывает всю числовую прямую.