Как рассчитать сторону треугольника
Формулы для расчёта стороны треугольника: по двум сторонам и углу, по стороне и углам, теорема Пифагора. Калькулятор с примерами.
Неизвестная сторона треугольника вычисляется по-разному в зависимости от того, какие элементы уже известны. Ниже – все основные случаи с формулами и примерами.
Как рассчитать сторону прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник – треугольник с одним углом 90°. Сторона напротив прямого угла – гипотенуза (c), две другие – катеты (a и b).
Теорема Пифагора: два катета → гипотенуза
$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$
Пример: a = 3, b = 4 → c = √(9 + 16) = √25 = 5.
Гипотенуза и катет → второй катет
$$b = \sqrt{c^2 - a^2}$$
Пример: c = 13, a = 5 → b = √(169 − 25) = √144 = 12.
Катет и острый угол → остальные стороны
Через тригонометрические функции:
- Гипотенуза по катету: c = a / sin α или c = a / cos β
- Катет по катету и углу: b = a / tg α или b = a · tg β
Пример: a = 8, α = 30° → c = 8 / sin 30° = 8 / 0,5 = 16, b = 8 · tg 30° ≈ 4,62.
Как рассчитать сторону произвольного треугольника
Для непрямоугольных треугольников работают три основные теоремы.
Две стороны и угол между ними – теорема косинусов
$$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma}$$
где γ – угол между сторонами a и b.
Пример: a = 7, b = 10, γ = 60° → c = √(49 + 100 − 2 · 7 · 10 · 0,5) = √(149 − 70) = √79 ≈ 8,89.
Сторона и два угла – теорема синусов
$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$$
Отсюда любая сторона через известную:
$$b = \frac{a \cdot \sin \beta}{\sin \alpha}$$
Третий угол находится как γ = 180° − α − β.
Пример: a = 12, α = 45°, β = 60° → γ = 75°, b = 12 · sin 60° / sin 45° = 12 · 0,866 / 0,707 ≈ 14,70.
Три стороны – проверка существования
Если все три стороны известны, задача сводится к проверке неравенства треугольника: сумма любых двух сторон больше третьей. Если a = 3, b = 4, c = 8 – такой треугольник не существует, так как 3 + 4 < 8.
Частные случаи
Равносторонний треугольник
Все стороны равны. Сторона через:
- Высоту h: a = 2h / √3
- Площадь S: a = √(4S / √3)
- Радиус описанной окружности R: a = R√3
Равнобедренный треугольник
Боковые стороны равны (a = a), основание – b.
- Боковая сторона по основанию и углу при вершине γ: a = b / (2 · sin(γ/2))
- Основание по боковой стороне и углу при вершине γ: b = 2a · sin(γ/2)
Какую формулу выбрать
| Известные элементы | Формула |
|---|---|
| Два катета | Теорема Пифагора |
| Катет и гипотенуза | Теорема Пифагора |
| Катет и острый угол | Тригонометрия (sin, cos, tg) |
| Две стороны и угол между ними | Теорема косинусов |
| Сторона и два угла | Теорема синусов |
| Три стороны | Неравенство треугольника (проверка) |
Типичные ошибки при расчёте сторон
- Угол в градусах подставлен в формулу без перевода. Калькуляторы и таблицы обычно работают в градусах, но при программировании углы часто указываются в радианах.
- Угол не тот. В теореме косинусов угол должен быть именно между двумя известными сторонами. Угол напротив искомой стороны – это другой случай.
- Нарушено неравенство треугольника. Если под корнем отрицательное число – треугольник с такими данными не существует.
Результаты расчётов носят справочный характер. Для ответственных инженерных задач проверяйте вычисления альтернативными методами.