Рассчитать сегмент

Что такое сегмент и как его рассчитать

Сегмент (в геометрии) – это часть фигуры, ограниченная дугой и хордой. Чаще всего речь о круговом сегменте – части круга, которую отсекает хорда (прямая между двумя точками окружности).

Круговой сегмент определяется несколькими параметрами:

• R – радиус круга
• α – угол сегмента (в градусах или радианах)
• h – высота сегмента (расстояние от хорды до дуги)
• c – длина хорды
• L – длина дуги

В зависимости от известных данных применяются разные формулы. Рассмотрим основные методы.

Расчёт сегмента по радиусу и углу

Самый распространённый случай – известны радиус R и угол α.

Площадь сегмента

Формула для угла в градусах:

S = R² × (πα/180° − sin α)

Для угла в радианах:

S = R² × (α − sin α)

Длина дуги

L = R × α (α в радианах)

или

L = πR × α/180° (α в градусах)

Длина хорды

c = 2R × sin(α/2)

Высота сегмента

h = R × (1 − cos(α/2))

Пример: радиус R = 5 см, угол α = 60°.

Площадь: S = 25 × (π × 60/180 − sin 60°) = 25 × (1,047 − 0,866) = 25 × 0,181 = 4,53 см²

Длина дуги: L = π × 5 × 60/180 = 5,24 см

Расчёт сегмента по хорде и высоте

На практике часто радиус и угол неизвестны – зато легче измерить хорду и высоту.

Радиус через хорду и высоту

R = (c² + 4h²) / 8h

Угол сегмента

α = 2 × arcsin(c / 2R)

Площадь сегмента

После нахождения R и α используется формула из первого раздела.

Пример: хорда c = 8 см, высота h = 3 см.

R = (64 + 36) / 24 = 100 / 24 = 4,167 см

α = 2 × arcsin(8 / 8,334) = 2 × arcsin(0,96) = 2 × 73,8° = 147,6°

S = R² × (πα/180 − sin α) = 17,36 × (3,14 × 147,6/180 − 0,975) = 17,36 × (2,58 − 0,975) = 27,82 см²

Расчёт сегмента по высоте и радиусу

Если известны высота h и радиус R, угол находится по формуле:

α = 2 × arccos((R − h) / R)

Затем площадь вычисляется по базовой формуле.

Пример: радиус R = 10 см, высота h = 4 см.

α = 2 × arccos(6/10) = 2 × arccos(0,6) = 2 × 53,13° = 106,26°

S = 100 × (3,14 × 106,26/180 − sin 106,26°) = 100 × (1,852 − 0,961) = 89,1 см²

Таблица формул сегмента

Частые ошибки при расчёте

1. Путаница с единицами измерения – формулы с πα/180° работают для градусов, формулы с чистым α – для радианов. Недостаточно просто подставить число.

2. Высота больше радиуса – такое возможно только если сегмент больше полукруга. В этом случае угол α > 180°, и некоторые формулы дают отрицательный результат. Используйте формулу для большего сегмента: S = πR² − S(360° − α).

3. Округление π – для точных расчётов используйте π ≈ 3,14159265. Округление до 3,14 даёт погрешность около 0,05%.

Калькулятор выше позволяет избежать этих ошибок, выполняя все промежуточные вычисления с высокой точностью.