Рассчитать прямоугольник

Что такое прямоугольник

Прямоугольник – это четырёхугольник, все углы которого равны 90°. Противоположные стороны равны и параллельны. Диагонали прямоугольника одинаковы и делят друг друга пополам.

Квадрат – частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны.

Базовые элементы прямоугольника

• a – длина (обычно большая сторона)
• b – ширина (обычно меньшая сторона)
• d – диагональ
• P – периметр
• S – площадь

Онлайн-калькулятор

Основные формулы

Площадь

Площадь прямоугольника – произведение его сторон:

S = a × b

Единица измерения – квадратные единицы (см², м², км²).

Периметр

Периметр – сумма длин всех сторон:

P = 2(a + b)

Диагональ

Диагональ вычисляется по теореме Пифагора, поскольку диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника:

d = √(a² + b²)

Стороны

Зная площадь и одну сторону:

b = S / a (или a = S / b)

Зная периметр и одну сторону:

b = P/2 − a

Как найти неизвестные параметры

Известны две стороны

Это классический случай. Перемножьте стороны для площади, сложите и умножьте на 2 для периметра, примените теорему Пифагора для диагонали.

Пример: стороны 6 м и 4 м.

• S = 6 × 4 = 24 м²
• P = 2 × (6 + 4) = 20 м
• d = √(36 + 16) = √52 ≈ 7,21 м

Известны диагональ и одна сторона

Вычтите квадрат известной стороны из квадрата диагонали и извлеките корень.

Пример: диагональ 10 см, сторона 6 см.

Вторая сторона: b = √(100 − 36) = √64 = 8 см.

Теперь можно найти площадь: S = 6 × 8 = 48 см².

Известны площадь и периметр

Эта задача требует решения квадратного уравнения. Из формул:

• S = a × b
• P = 2(a + b)

Выразите b через a: b = S / a. Подставьте в периметр:

P = 2(a + S/a)

P/2 = a + S/a

Умножьте на a и получите квадратное уравнение:

a² − (P/2)a + S = 0

Пример: площадь 24 м², периметр 20 м.

Уравнение: a² − 10a + 24 = 0

Дискриминант: D = 100 − 96 = 4

Корни: a = (10 ± 2)/2 = 6 или 4.

Это тот же прямоугольник 6×4 м.

Известны диагональ и угол между диагоналями

Диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом только в квадрате. В общем случае угол между диагоналями можно использовать для нахождения сторон.

Если угол между диагоналями равен α, то:

a = d × sin(α/2) b = d × cos(α/2)

Частые ошибки

1. Путаница периметра и площади. Периметр – сумма сторон (линейная величина), площадь – произведение (квадратная величина). Единицы измерения разные: м и м².

2. Неверное применение теоремы Пифагора. Диагональ – гипотенуза, стороны – катеты. Нельзя складывать диагональ с квадратом стороны.

3. Отрицательные значения при извлечении корня. Если d² < a², такой прямоугольник не существует: диагональ всегда больше любой стороны.

Таблица формул

Зная любые два параметра прямоугольника (кроме одного периметра без дополнительных данных), можно вычислить все остальные.