Математика·Геометрия

Посчитать цилиндр: объём, масса, труба

Как посчитать цилиндр: объём сплошного и полого тела, массу трубы, высоту бака и жидкость в лежачей ёмкости. Формулы с примерами.

Калькулятор цилиндра и трубы

Введите размеры в миллиметрах: калькулятор переведёт их в СИ, покажет объём, площадь, массу или уровень жидкости.

Сплошной цилиндр или вертикальный бак

V = π × d² × h / 4

мм
мм
кг/м³

Сталь – 7850, алюминий – 2700, вода – 1000 кг/м³.

Базовая формула объёма цилиндра

Цилиндр — тело вращения с одинаковым круглым сечением по всей высоте. Его объём равен площади основания, умноженной на высоту:

V = π · r² · h

где r — радиус основания, h — высота, π ≈ 3,1416.

Если в чертеже или на практике задан диаметр d, формулу сворачивают:

V = π · d² · h / 4

Пример: при r = 10 см (0,1 м) и h = 20 см (0,2 м) получаем V = 3,1416 · 0,01 · 0,2 = 0,00628 м³, что равно 6,28 л.

Расчёт полого цилиндра (трубы)

Для труб и обечаек считают объём материала стенки. Через внешний R и внутренний r радиусы:

V = π · h · (R² − r²)

В сортаментах труб указан наружный диаметр D и толщина стенки t, поэтому удобна форма:

V = π · h · t · (D − t)

Масса погонного метра (для h = 1 м) находится умножением на плотность ρ:

m = π · t · (D − t) · ρ

Проверка: труба 57 × 3,5 мм из стали (ρ = 7850 кг/м³) → π · 0,0035 · (0,057 − 0,0035) · 7850 ≈ 4,62 кг/м, что соответствует табличным ГОСТ значениям.

Обратный расчёт: размеры по заданному объёму

Частая задача — подобрать габариты бака под фиксированную вместимость. Преобразуем базовую формулу:

h = V / (π · r²) — найти высоту

r = √(V / (π · h)) — найти радиус

Пример: нужен бак на 200 л (0,2 м³) при r = 0,3 м. Высота обечайки h = 0,2 / (3,1416 · 0,09) ≈ 0,707 м.

Площадь поверхности и раскрой листа

Боковая поверхность разворачивается в прямоугольник со сторонами 2πr и h. Её площадь:

S_бок = 2π · r · h

Полная поверхность (с двумя днищами):

S_полн = 2πr · (r + h)

Раскрой: обечайка диаметром 500 мм и длиной 800 мм требует заготовку 1571 × 800 мм (плюс припуск на сварной шов). Эти же значения нужны для расчёта краски или изоляции.

Объём жидкости в горизонтальной цистерне

Для лежачей ёмкости зависимость уровня от объёма нелинейна — сечение жидкости — круговой сегмент. Доля объёма при уровне k = x/D (доля диаметра) вычисляется через угол θ = 2·arccos(1 − 2k):

Доля V = (θ − sin θ) / 2π

Ориентировочная таблица заполнения:

Уровень, % диаметра Доля объёма
10% 5,2%
25% 19,6%
50% 50%
75% 80,5%
90% 94,8%

Края шкалы обманчивы: первые 10% диаметра дают лишь 5% продукта. Используйте сегментную формулу, а не линейную интерполяцию.

Масса изделия по плотности материала

Масса сплошной детали: m = ρ · V. Типовые плотности для контрольного цилиндра r=10 см, h=20 см (V = 6,28 л):

Материал Плотность, кг/м³ Масса
Сталь 7850 49,3 кг
Алюминий 2700 17,0 кг
Вода 1000 6,28 кг

Для сварных ёмкостей массу набирают из площади листовых развёрток с учётом толщины, фланцев и швов.

Сквозной пример: вертикальный бак

Дано: внутренний диаметр 500 мм, высота обечайки 800 мм, стенка 3 мм, сталь.

  1. Радиус r = 0,25 м, высота h = 0,8 м.
  2. Вместимость: V = π · 0,25² · 0,8 ≈ 0,157 м³ = 157 л.
  3. Площадь обечайки: S = 2π · 0,25 · 0,8 = 1,257 м² (раскрой 1571 × 800 мм).
  4. Два днища: 2 · π · 0,25² = 0,393 м².
  5. Масса металла: (1,257 + 0,393) · 0,003 · 7850 ≈ 38,8 кг (без припусков и арматуры).

Те же шаги выполняет встроенный калькулятор — введите свои значения и получите развёрнутый ход расчёта.

Часто задаваемые вопросы

Как посчитать объём цилиндра по диаметру?
Используйте свёрнутую формулу V = π·d²·h / 4, где d — диаметр основания, h — высота тела. Например, при d = 20 см и h = 30 см объём составит около 9425 см³ или 9,42 л. В нашем калькуляторе достаточно переключить поле ввода на диаметр, чтобы получить результат без промежуточных шагов.
Как найти массу погонного метра трубы?
Примените производственную формулу m = π·t·(D − t)·ρ, где t — толщина стенки, D — наружный диаметр, ρ — плотность. Для стальной трубы 57×3,5 мм расчёт даёт примерно 4,62 кг/м, что совпадает с ГОСТ. Уточните актуальную плотность сплава в марочнике, так как у разных марок стали она варьируется.
Как определить остаток в лежачей бочке?
Линейная интерполяция здесь обманчивает: у краёв шкалы объём растёт медленнее из-за формы сечения. Используйте формулу кругового сегмента или готовую таблицу долей по относительному уровню. Так, при заполнении на 10% диаметра вмещается лишь около 5% всего объёма, а на 90% — почти 95% продукта.
В чём разница между объёмом и площадью цилиндра?
Объём (м³, л) — это вместимость тела, а площадь (м²) — размер его внешней поверхности. Для покраски или теплоизоляции считают боковую поверхность S = 2πrh, для заливки жидкостью — объём V = πr²h. Осевое сечение (прямоугольник) имеет площадь, но не является ни объёмом, ни полной поверхностью.
Как рассчитать высоту бака под нужный объём?
Выведите высоту из базовой формулы: h = V / (π·r²). Если требуется вертикальный бак на 200 л при радиусе 30 см, высота обечайки составит около 0,71 м. Учтите, что при толстых стенках вместимость считают по внутреннему радиусу, а не по наружному габариту изделия.

Похожие калькуляторы и статьи