Площадь треугольника: калькулятор
Как найти площадь треугольника: формулы по основанию и высоте, трём сторонам (формула Герона), двум сторонам и углу, координатам — рассчитайте онлайн.
Обзор всех формул
Выберите строку по тем данным, которые известны в вашей задаче:
| Что известно | Формула | Типичный случай |
|---|---|---|
| Основание и высота | S = ½ · a · h | Чертёж с обозначенной высотой |
| Две стороны и угол между ними | S = ½ · a · b · sin γ | Данные из задачи по тригонометрии |
| Три стороны | Формула Герона | Высота не задана |
| Два катета | S = ½ · a · b | Прямоугольный треугольник |
| Одна сторона (равносторонний) | S = (√3 / 4) · a² | Правильный треугольник |
| Стороны + радиус вписанной окружности | S = r · p | Задачи на вписанную окружность |
| Три стороны + радиус описанной окружности | S = (a · b · c) / (4R) | Задачи на описанную окружность |
| Координаты трёх вершин | S = ½ ·|x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)| | Аналитическая геометрия |
По основанию и высоте
Самая распространённая формула:
$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$
где a — длина основания, h — высота, опущенная на это основание.
Важно: высота — это перпендикуляр из вершины до прямой основания, а не сторона треугольника. У тупоугольного треугольника высота может падать за пределы фигуры — это нормально, формула всё равно верна.
Пример. Основание a = 8 см, высота h = 5 см:
S = ½ · 8 · 5 = 20 см²
По двум сторонам и углу между ними
$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma$$
где a и b — две известные стороны, γ (гамма) — угол строго между ними.
Пример. Стороны a = 6 см, b = 7 см, угол γ = 60°:
S = ½ · 6 · 7 · sin 60° = ½ · 6 · 7 · 0,866 ≈ 18,19 см²
Формула удобна, когда высота явно не задана, но известны два ребра и угол — такие условия часто встречаются в тригонометрии и задачах ЕГЭ.
Формула Герона: три стороны
Если известны все три стороны, но не высота, используйте формулу Герона.
Шаг 1. Найдите полупериметр:
$$p = \frac{a + b + c}{2}$$
Шаг 2. Вычислите площадь:
$$S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}$$
Пример. Египетский (прямоугольный) треугольник со сторонами 3, 4 и 5:
p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
S = √(6 · 3 · 2 · 1) = √36 = 6 см²
Проверка через основание и высоту: катеты прямоугольника 3 и 4, S = ½ · 3 · 4 = 6 ✓
Прямоугольный и равносторонний треугольник
Прямоугольный треугольник
Для прямоугольного треугольника оба катета служат одновременно высотой и основанием:
$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$
Пример. Катеты 6 и 8 см: S = ½ · 6 · 8 = 24 см²
Равносторонний треугольник
Все стороны равны, поэтому формула зависит только от одного числа:
$$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \approx 0{,}433 \cdot a^2$$
Пример. Сторона a = 10 см: S = (√3 / 4) · 100 ≈ 43,3 см²
Через радиусы вписанной и описанной окружностей
Вписанная окружность (радиус r)
$$S = r \cdot p$$
где p — полупериметр треугольника.
Описанная окружность (радиус R)
$$S = \frac{a \cdot b \cdot c}{4R}$$
Эти формулы применяются в задачах, где окружность фигурирует явно. Для простых вычислений удобнее формулы выше.
По координатам вершин
Если вершины треугольника заданы координатами A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃):
$$S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$$
Знак модуля нужен, чтобы площадь была положительной независимо от порядка обхода вершин.
Пример. Вершины A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3):
S = ½ · |0·(0 − 3) + 4·(3 − 0) + 0·(0 − 0)| = ½ · |0 + 12 + 0| = 6 единиц²
Разбор задачи от начала до конца
Условие. Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 8 см. Найдите площадь.
Решение по формуле Герона.
- Полупериметр: p = (5 + 7 + 8) / 2 = 10
- Подставляем: S = √(10 · (10 − 5) · (10 − 7) · (10 − 8)) = √(10 · 5 · 3 · 2) = √300 ≈ 17,32 см²
Проверка: угол между сторонами 5 и 7 можно найти через теорему косинусов: cos α = (5² + 7² − 8²) / (2·5·7) = (25 + 49 − 64) / 70 = 10/70 ≈ 0,143, α ≈ 81,8°. Тогда S = ½ · 5 · 7 · sin 81,8° ≈ ½ · 5 · 7 · 0,990 ≈ 17,32 ✓
Типичные ошибки при расчёте
- Путают высоту со стороной. Высота — строго перпендикуляр, а не наклонная линия.
- Берут не тот угол в формуле S = ½·a·b·sin γ. Угол должен быть заключён именно между сторонами a и b.
- Забывают модуль в формуле через координаты — без него площадь может получиться отрицательной.
- Нарушают неравенство треугольника. Если a + b ≤ c, треугольника не существует, и формула Герона даст ноль или мнимое число.