Математика·Геометрия

Стороны прямоугольника по периметру

Узнайте, как найти стороны прямоугольника, если известен периметр. Формулы расчёта для случаев с известной стороной, площадью или квадратом.

Что известно?

Базовая формула периметра

Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон. Поскольку противоположные стороны фигуры равны, формула выглядит так:

P = 2 × (a + b)

где a — длина, b — ширина, P — периметр.

В зависимости от того, какие ещё данные известны, существуют три основных способа найти стороны.

Случай 1: Известны периметр и одна сторона

Это самая простая задача. Если известна одна сторона (например, a) и периметр P, вторую сторону (b) находят за одно действие.

  1. Разделите периметр на 2, чтобы получить сумму сторон: a + b = P / 2
  2. Вычтите из этой суммы известную сторону: b = P / 2 - a

Пример: Периметр прямоугольника равен 40 см, сторона a = 13 см. Найдём сторону b.

  • b = 40 / 2 − 13 = 20 − 13 = 7 см.

Случай 2: Известны периметр и площадь

Если известен периметр P и площадь S, задачу решают через систему уравнений.

  1. Из периметра выразите сумму сторон: a + b = P / 2
  2. Запишите формулу площади: a × b = S
  3. Составьте квадратное уравнение, где стороны a и b — корни.

По теореме Виета, если сумма корней равна P/2, а их произведение равно S, уравнение имеет вид:

x² − (P/2) × x + S = 0

Достаточно найти дискриминант и вычислить корни — они и будут сторонами прямоугольника.

Пример: Периметр равен 22 см, площадь — 30 см². Найдём стороны.

  • Сумма сторон: 22 / 2 = 11
  • Уравнение: x² − 11x + 30 = 0
  • Дискриминант: D = 11² − 4 × 1 × 30 = 121 − 120 = 1
  • Корни: x₁ = (11 + 1) / 2 = 6; x₂ = (11 − 1) / 2 = 5.

Ответ: стороны равны 5 см и 6 см.

Случай 3: Известен только периметр

Найти конкретные стороны прямоугольника, зная только периметр, невозможно. Одному значению периметра соответствуют десятки разных прямоугольников.

Например, при периметре 20 см сумма сторон (a + b) равна 10. Это может быть прямоугольник со сторонами 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7, 4 и 6 и так далее. Для однозначного решения не хватает данных — площади, диагонали или соотношения сторон.

Единственное исключение — квадрат. Если в задаче сказано, что фигура является квадратом, все её стороны равны. Формула расчёта:

a = P / 4

Пример: Периметр квадрата равен 36 см.

  • Сторона: 36 / 4 = 9 см.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли найти стороны прямоугольника, если известен только периметр?
Нет, по одному значению периметра определить точные длины сторон невозможно. Существует бесконечное множество прямоугольников с одинаковым периметром, но разными сторонами. Для точного расчёта нужна дополнительная информация: площадь или соотношение сторон.
Как найти стороны прямоугольника, если он является квадратом?
У квадрата все четыре стороны равны, поэтому для расчёта достаточно разделить периметр на 4. Формула выглядит так: a = P / 4, где a — сторона квадрата, а P — его периметр.
Что делать, если при решении квадратного уравнения дискриминант отрицательный?
Отрицательный дискриминант означает, что уравнение не имеет действительных корней. В контексте геометрии это говорит о том, что прямоугольника с заданным периметром и площадью не существует — вы допустили ошибку в исходных данных.
Зачем нужно делить периметр пополам перед вычислениями?
Периметр — это сумма всех четырёх сторон (P = 2a + 2b). Деление на 2 даёт полупериметр — сумму одной длины и одной ширины (a + b). Работать с полупериметром гораздо удобнее, так как это упрощает составление и решение уравнений.

Похожие калькуляторы и статьи