МатематикаГеометрия

Калькулятор конуса онлайн: объём, площадь

Бесплатный калькулятор конуса: объём, площадь поверхности, развёртка и масса. Формулы, примеры и обратный расчёт. Работает на всех устройствах.

Тип фигуры
Размеры (введите любые два)

Оставьте одно неизвестное поле пустым, сервис рассчитает его по теореме Пифагора.

Материал (необязательно, для расчёта массы)

Похожие калькуляторы и статьи

Все калькуляторы раздела «Геометрия» (253) →

Возможности калькулятора

Сервис рассчитывает все основные параметры прямого кругового конуса по заданным размерам. Достаточно ввести любые два из трёх значений — радиус (или диаметр), высоту или образующую — чтобы получить:

  • объём и площади: полная, боковая и основания;
  • длину образующей и угол развёртки для выкройки;
  • массу при заданной плотности материала;
  • обратный расчёт: высоту или радиус по известному объёму.

Для усечённого конуса калькулятор находит объём, боковую площадь и параметры исходного полного конуса.

Обозначения и связь размеров

ВеличинаОбозначениеФормула связи
Радиус основанияrrr=d/2r = d/2
Высота (по оси)hhh=l2−r2h = \sqrt{l^2 - r^2}
Образующаяlll=r2+h2l = \sqrt{r^2 + h^2}
Площадь основанияSоснS_\text{осн}Sосн=πr2S_\text{осн} = \pi r^2

Высота измеряется от центра основания до вершины строго перпендикулярно плоскости основания. Образующая — гипотенуза прямоугольного треугольника, катетами которого служат высота и радиус, поэтому двух из трёх величин достаточно для однозначного определения третьей.

Объём конуса

V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h

Коэффициент 1/31/3 — точное значение, полученное методом интегрирования: конус составляет ровно треть от объёма цилиндра с теми же радиусом и высотой. Если в чертеже вместо высоты указана образующая, сначала восстановите hh через теорему Пифагора.

Пример. Конус с радиусом r=10r = 10 см и высотой h=12h = 12 см:

V=13⋅π⋅100⋅12=400π≈1256,64 см3≈1,257 лV = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 100 \cdot 12 = 400\pi \approx 1256{,}64 \text{ см}^3 \approx 1{,}257 \text{ л}

Площади поверхности

Sбок=πrlS_\text{бок} = \pi r l Sполн=πr(r+l)=Sосн+SбокS_\text{полн} = \pi r (r + l) = S_\text{осн} + S_\text{бок}

Боковая площадь важна при расчёте расхода краски, теплоизоляции или листового материала. Полная площадь добавляет к ней круг основания.

Для примера выше (r=10r = 10 см, h=12h = 12 см) образующая l=100+144≈15,62l = \sqrt{100 + 144} \approx 15{,}62 см:

Sбок≈π⋅10⋅15,62≈490,65 см2S_\text{бок} \approx \pi \cdot 10 \cdot 15{,}62 \approx 490{,}65 \text{ см}^2 Sполн≈π⋅10⋅(10+15,62)≈804,81 см2S_\text{полн} \approx \pi \cdot 10 \cdot (10 + 15{,}62) \approx 804{,}81 \text{ см}^2

Развёртка боковой поверхности

Чтобы изготовить конус из листа металла, пластика или картона, нужна плоская выкройка. Боковая поверхность разворачивается в круговой сектор:

  • радиус сектора равен образующей ll;
  • длина дуги сектора равна длине окружности основания 2πr2\pi r;
  • центральный угол развёртки:
φ=360∘⋅rl\varphi = 360^\circ \cdot \frac{r}{l}

Для рассмотренного конуса (r=10r = 10 см, l≈15,62l \approx 15{,}62 см):

φ≈360∘⋅1015,62≈230,5∘\varphi \approx 360^\circ \cdot \frac{10}{15{,}62} \approx 230{,}5^\circ

Основание вырезается отдельно как круг радиусом rr.

Усечённый конус

Усечённый конус задаётся радиусами двух оснований RR (больший) и rr (меньший) и высотой hh.

Образующая:

l=(R−r)2+h2l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}

Объём:

V=13πh(R2+Rr+r2)V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)

Боковая площадь:

Sбок=π(R+r)lS_\text{бок} = \pi (R + r) l

Пример. Переходник R=15R = 15 см, r=8r = 8 см, h=10h = 10 см:

l=72+102=149≈12,21 смl = \sqrt{7^2 + 10^2} = \sqrt{149} \approx 12{,}21 \text{ см} V≈13⋅π⋅10⋅(225+120+64)≈4282 см3≈4,28 лV \approx \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 10 \cdot (225 + 120 + 64) \approx 4282 \text{ см}^3 \approx 4{,}28 \text{ л} Sбок≈π⋅23⋅12,21≈882,5 см2S_\text{бок} \approx \pi \cdot 23 \cdot 12{,}21 \approx 882{,}5 \text{ см}^2

Обратный расчёт: найти высоту или радиус

Если задан требуемый объём, а одна из геометрических величин неизвестна:

h=3Vπr2h = \frac{3V}{\pi r^2} r=3Vπhr = \sqrt{\frac{3V}{\pi h}}

Так, для ёмкости в V=5V = 5 л при радиусе r=15r = 15 см (0,150{,}15 м) потребуется высота:

h=3⋅0,005π⋅0,0225≈0,212 м=21,2 смh = \frac{3 \cdot 0{,}005}{\pi \cdot 0{,}0225} \approx 0{,}212 \text{ м} = 21{,}2 \text{ см}

Объём при частичном заполнении

В конических ёмкостях уровень жидкости меняется нелинейно относительно объёма. При заполнении до высоты xx от вершины (вершиной вниз):

Vx=V⋅(xh)3V_x = V \cdot \left( \frac{x}{h} \right)^3

Практический вывод: конус, заполненный до половины высоты, содержит лишь 1/81/8 (12,5 %) от полного объёма. Последние 10 % высоты вмещают около 27 % всей жидкости. Это важно учитывать при дозировании и контроле остатков в бункерах.

Масса детали и материала

Для сплошного конуса:

m=ρ⋅Vm = \rho \cdot V

где ρ\rho — плотность материала (кг/м³). Типовые значения: стель — 7850 кг/м³, алюминий — 2700 кг/м³, бетон — 2400 кг/м³.

Для тонкостенных изделий (листовая воронка, корпус ёмкости) массу определяют по площади развёртки с учётом толщины стенки tt:

m≈Sполн⋅t⋅ρm \approx S_\text{полн} \cdot t \cdot \rho

При расчёте внутреннего объёма продукта используйте внутренние габаритные размеры.

Пошаговый пример: воронка

Дано: воронка вершиной вниз, диаметр d=300d = 300 мм, глубина h=400h = 400 мм, стальная листовая обечайка толщиной 2 мм.

  1. Радиус r=150r = 150 мм =0,15= 0{,}15 м.
  2. Объём: V=13⋅π⋅0,0225⋅0,4≈0,00942V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 0{,}0225 \cdot 0{,}4 \approx 0{,}00942 м³ =9,42= 9{,}42 л.
  3. Образующая: l=0,152+0,42≈0,427l = \sqrt{0{,}15^2 + 0{,}4^2} \approx 0{,}427 м.
  4. Угол развёртки: φ≈360∘⋅0,150,427≈126,4∘\varphi \approx 360^\circ \cdot \frac{0{,}15}{0{,}427} \approx 126{,}4^\circ.
  5. Площадь боковой поверхности: Sбок≈π⋅0,15⋅0,427≈0,201S_\text{бок} \approx \pi \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}427 \approx 0{,}201 м².
  6. Масса стали на обечайку: m≈0,201⋅0,002⋅7850≈3,16m \approx 0{,}201 \cdot 0{,}002 \cdot 7850 \approx 3{,}16 кг (без припусков на швы и фланцы).

Часто задаваемые вопросы

Как посчитать объём конуса по диаметру и высоте?
Разделите диаметр пополам, чтобы получить радиус r. Подставьте его вместе с высотой h в формулу V = ⅓·π·r²·h. Например, при диаметре 20 см и высоте 12 см объём равен примерно 1 257 см³ или 1,26 л.
Чему равна площадь боковой поверхности конуса?
Боковая площадь S = π·r·l, где l — образующая (расстояние от кромки основания до вершины). Образующую находят по теореме Пифагора: l = √(r² + h²).
Как начертить развёртку конуса на листе?
Развёртка боковой поверхности — сектор круга радиусом l с центральным углом φ = 360°·r/l. Основание вырезается отдельным кругом радиусом r. Сервис строит выкройку автоматически.
Что такое усечённый конус и как его посчитать?
Это часть конуса между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Объём V = ⅓·π·h·(R² + R·r + r²), где R и r — радиусы двух оснований, h — высота усечённой части.
Как узнать массу детали в форме конуса?
Масса сплошного конуса m = ρ·V, где ρ — плотность материала. Для тонкостенных изделий массу считают по площади поверхности: m ≈ S·t·ρ, где t — толщина стенки.
Как определить объём жидкости в заполненном наполовину конусе?
Если конус стоит вершиной вниз и жидкость занимает половину высоты, объём составит лишь ⅛ от полного. Общая закономерность: доля объёма равна кубу доли высоты от вершины.