Онлайн калькулятор цилиндра: объем, площадь, масса
Онлайн калькулятор цилиндра: расчет объема, площади поверхности и массы сплошного и полого цилиндра. Формулы, примеры, перевод в литры и м³.
Онлайн калькулятор цилиндра: расчет объема, площади поверхности и массы сплошного и полого цилиндра. Формулы, примеры, перевод в литры и м³.
Что считает калькулятор
Калькулятор работает с любыми прямыми круговыми цилиндрами и закрывает типовые инженерные задачи:
- Объем сплошного цилиндра – по радиусу, диаметру или площади основания и высоте.
- Объем полого цилиндра (трубы) – по наружному и внутреннему диаметру, либо по наружному диаметру и толщине стенки.
- Площадь боковой и полной поверхности – для расчета окраски, изоляции, раскроя листа.
- Массу – по плотности материала (сталь, алюминий, бетон, дерево и др.).
- Обратный расчет – нахождение радиуса или высоты по заданному объему.
- Заполнение горизонтальной емкости – объем жидкости по уровню (щупу).
Все размеры можно вводить в миллиметрах, сантиметрах или метрах – поля не зависят друг от друга. Результат выводится в м³, литрах и см³ одновременно.
Формула объема цилиндра
Объем любого прямого цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту:
$$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$$
Через диаметр формула принимает вид:
$$V = \frac{\pi \cdot d^2 \cdot h}{4}$$
Через площадь основания – самый короткий вариант:
$$V = S \cdot h$$
Последняя запись работает для цилиндра с любым основанием (эллипс, многоугольник) – главное, чтобы сечение было постоянным по высоте.
Контрольный пример: r = 10 см, h = 20 см → V = 3,14159 · 100 · 20 = 6283,19 см³ ≈ 6,28 л.
Объем полого цилиндра (трубы)
У полого цилиндра два радиуса – внешний R и внутренний r. Объем материала стенки (то, что нужно для расчета массы) равен разности объемов:
$$V = \pi \cdot h \cdot (R^2 - r^2)$$
В производственной записи используют наружный диаметр D и толщину стенки t:
$$V = \pi \cdot h \cdot t \cdot (D - t)$$
Эта же формула лежит в основе расчета массы погонного метра трубы по сортаменту:
$$m = \pi \cdot t \cdot (D - t) \cdot \rho$$
Проверка: труба 57×3,5 мм, сталь (ρ = 7850 кг/м³): m = 3,14159 · 0,0035 · 0,0535 · 7850 = 4,618 кг/м – совпадает с табличным значением ГОСТ 8732 (4,62 кг/м).
Площадь поверхности цилиндра
Боковая поверхность (без оснований) разворачивается в прямоугольник:
$$S_{\text{бок}} = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$$
Полная поверхность с двумя основаниями:
$$S_{\text{полн}} = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot r^2 = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot (h + r)$$
Зачем это нужно:
- Раскрой обечайки – длина заготовки равна длине окружности 2πr (для толстого листа – по среднему диаметру), ширина – высоте h. Плюс припуск на сварной шов 10–20 мм.
- Расход краски, грунта, изоляции – считается по полной или только боковой поверхности в зависимости от того, что покрывается.
- Гуммирование, футеровка – при известной толщине покрытия его объем равен площади поверхности, умноженной на толщину.
Пример: обечайка диаметром 500 мм, высотой 800 мм. Длина развертки 2π · 250 = 1571 мм, ширина 800 мм. Площадь боковой поверхности – 1,257 м².
Масса цилиндра
Масса сплошного тела – произведение объема на плотность:
$$m = \rho \cdot V$$
Плотности для типовых материалов (можно ввести вручную или выбрать из списка):
| Материал | Плотность, кг/м³ | Масса цилиндра r=10 см, h=20 см |
|---|---|---|
| Сталь | 7850 | 49,32 кг |
| Алюминий | 2700 | 16,96 кг |
| Медь | 8960 | 56,29 кг |
| Бетон | 2300 | 14,45 кг |
| Сосна (сухая) | 500 | 3,14 кг |
| Вода | 1000 | 6,28 кг |
Для полого цилиндра масса металла стенки считается по формуле m = π · h · t · (D − t) · ρ, для листовых оболочек – через площадь поверхности.
Обратный расчет: найти высоту или радиус
Когда вместимость известна, а габарит нужно подобрать, формулу обращают:
$$h = \frac{V}{\pi \cdot r^2} \quad\quad r = \sqrt{\frac{V}{\pi \cdot h}}$$
Пример: бак на 200 л при радиусе 30 см. h = 0,2 / (π · 0,09) = 0,707 м.
Пример: колонна высотой 3 м, объем 500 л. r = √(0,5 / (π · 3)) = 0,231 м → диаметр 461 мм.
В калькуляторе для этого есть отдельный режим: введите два известных параметра – третий посчитается автоматически.
Объем жидкости в горизонтальной цистерне
Когда цилиндр лежит на боку, заполнение зависит от уровня жидкости нелинейно: сечение – круговой сегмент. Если k = x/D – доля диаметра, занимаемая жидкостью, то:
$$\theta = 2 \cdot \arccos(1 - 2k) \quad\quad \text{доля объёма} = \frac{\theta - \sin\theta}{2\pi}$$
Готовая таблица для быстрой оценки (D = 1 условно):
| Уровень (% диаметра) | Заполнение (% объема) |
|---|---|
| 10 | 5,2 |
| 20 | 14,6 |
| 25 | 19,6 |
| 33 | 29,9 |
| 50 | 50,0 |
| 67 | 70,1 |
| 75 | 80,5 |
| 80 | 85,4 |
| 90 | 94,8 |
Середина шкалы «честная» – 50% уровня = 50% объема, что следует из симметрии круга. Но по краям линейная интерполяция сильно врет: при уровне 10% диаметра в бочке всего 5% жидкости. Если используете мерную линейку с равномерной шкалой, имейте это в виду.
Сквозной пример: вертикальная емкость с плоскими днищами
Дано: внутренний диаметр 500 мм, высота обечайки 800 мм, стенка 3 мм, материал – сталь.
- Переводим в метры: r = 0,25 м, h = 0,8 м, t = 0,003 м.
- Вместимость: V = π · 0,25² · 0,8 = 0,1571 м³ = 157,1 л.
- Площадь обечайки: S = 2π · 0,25 · 0,8 = 1,257 м². Длина развертки – 1571 мм.
- Два плоских днища: 2 · π · 0,25² = 0,393 м².
- Общая площадь листа: 1,257 + 0,393 = 1,650 м².
- Масса металла: 1,650 · 0,003 · 7850 = 38,8 кг (без припусков, фланцев и ребер жесткости).
Для реальной емкости к этой массе добавьте патрубки, опоры, грунтовку и сварные швы – обычно +15–25%.
Частые ошибки при ручном расчете
- Путают радиус и диаметр. Самый частый случай: вместо r = 50 мм в формулу подставляют d = 50 мм, получая заниженный объем в 4 раза.
- Смешивают единицы. Если радиус в сантиметрах, а высота в метрах, результат получается в «попугаях» – обязательно переводите всё в одну систему до подстановки.
- Считают объем через осевое сечение. Площадь осевого сечения – это прямоугольник 2r × h, его умножать на длину не нужно. Объем через сечение считается только для призм.
- Забывают про толщину стенки. Для емкости с толстой стенкой внутренний объем заметно меньше наружного: при D = 500 мм и t = 10 мм разница около 8%.
- Линейная интерполяция для лежачей бочки. При 20% уровня жидкости не 20%, а 14,6% объема – для точного отсчета нужна тарировочная таблица или формула сегмента.
- Используют плотность в г/см³ без перевода. 7,85 г/см³ – это то же самое, что 7850 кг/м³, но если перепутать – масса «поплывет» в 1000 раз.
Связанные расчеты
- Объем конуса – V = ⅓ · π · r² · h. Для тех же радиуса и высоты конус вмещает втрое меньше цилиндра.
- Объем шара – V = 4/3 · π · r³. Шар, вписанный в цилиндр (касающийся оснований и боковой поверхности), занимает ⅔ его объема.
- Объем усеченного цилиндра – нужен, когда одно основание меньше другого (например, конический переход с круглого сечения на круглое).
- Площадь круга – для расчета основания цилиндра и торцевых заглушек.