МатематикаГеометрия

Объём пирамиды: формулы и примеры расчёта

Формула объема пирамиды V = 1/3·S·h с примерами для правильных фигур. Готовый алгоритм и точный расчет усеченных пирамид в одном материале.

В любой единице площади (см², м²)
Перпендикуляр из вершины
Результат (Объём)
–
V = 1/3 · S · h

Похожие калькуляторы и статьи

Все калькуляторы раздела «Геометрия» (297) →

Что такое пирамида

Пирамида — это многогранник, состоящий из многоугольника-основания и нескольких треугольных боковых граней, которые соединяются в одной точке — вершине пирамиды.

Основные элементы пирамиды:

  • Основание — многоугольник, лежащий в одной из плоскостей.
  • Вершина — точка, не лежащая в плоскости основания.
  • Высота h — перпендикуляр из вершины на плоскость основания.
  • Апофема — высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды на сторону основания.

Пирамиды различаются по форме основания: треугольные, четырёхугольные, пятиугольные, шестиугольные и так далее.

Универсальная формула объёма пирамиды

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

V=13⋅Sосн⋅hV = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h

где:

  • VV — объём пирамиды;
  • SоснS_{\text{осн}} — площадь основания;
  • hh — высота пирамиды.

Эта формула работает для любой пирамиды, независимо от формы её основания. Главное — правильно найти площадь основания и высоту.

Как найти площадь основания

Метод вычисления площади зависит от типа основания.

Вид пирамидыОснованиеФормула площади основания
ТреугольнаяТреугольникS=12⋅a⋅haS = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a
ПрямоугольнаяПрямоугольник a×ba \times bS=a⋅bS = a \cdot b
Правильная четырёхугольнаяКвадрат со стороной aaS=a2S = a^2
Правильная треугольнаяПравильный треугольник со стороной aaS=34⋅a2S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2
Правильная шестиугольнаяПравильный шестиугольник со стороной aaS=332⋅a2S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2

Пошаговый пример расчёта

Задача. Найдите объём четырёхугольной пирамиды с прямоугольным основанием 4×64 \times 6 см и высотой 9 см.

Решение.

  1. Найдём площадь основания: Sосн=4⋅6=24 см2S_{\text{осн}} = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}^2

  2. Подставим в формулу объёма: V=13⋅24⋅9=72 см3V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 9 = 72 \text{ см}^3

Ответ: 7272 см³.

Объём усечённой пирамиды

Усечённая пирамида получается из полной пирамиды сечением, параллельным основанию. Она имеет два основания — верхнее и нижнее.

Формула объёма усечённой пирамиды:

V=13⋅h⋅(S1+S2+S1⋅S2)V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2})

где:

  • S1S_1 — площадь нижнего основания;
  • S2S_2 — площадь верхнего основания;
  • hh — высота усечённой пирамиды.

Частные случаи формул

Треугольная пирамида

V=13⋅(12⋅a⋅ha)⋅HV = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \right) \cdot H

где aa — основание треугольника, hah_a — высота треугольника, HH — высота пирамиды.

Правильная четырёхугольная пирамида

V=13⋅a2⋅hV = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h

где aa — сторона квадратного основания.

Правильная треугольная пирамида

V=312⋅a2⋅hV = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot a^2 \cdot h

где aa — сторона равностороннего треугольника в основании.

Частые ошибки

  • Путают высоту и апофему. В формуле объёма используется именно высота пирамиды, а не апофема боковой грани.
  • Берут неправильную площадь основания. Важно учитывать форму основания и применять соответствующую формулу.
  • Забывают про коэффициент 1/3. Объём призмы с таким же основанием и высотой был бы в три раза больше.
  • Подставляют высоту бокового ребра вместо высоты пирамиды. Это ошибка, которая приводит к завышенному результату.

Часто задаваемые вопросы

Какая универсальная формула объёма пирамиды?
Объём любой пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту: V = 1/3 · S_осн · h. Эта формула верна независимо от формы основания — главное, правильно найти S_осн и h.
Чем объём пирамиды отличается от объёма призмы с таким же основанием и высотой?
При равных площади основания и высоте объём пирамиды в три раза меньше объёма призмы. Для призмы V = S_осн · h, а для пирамиды — V = 1/3 · S_осн · h.
Как найти площадь основания пирамиды?
Площадь основания считается по правилам планиметрии: для треугольника — через основание и высоту, для прямоугольника — как произведение сторон, для правильного многоугольника — через формулу для данного числа сторон.
Что такое высота пирамиды?
Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Её основание не всегда совпадает с центром основания, особенно в наклонных пирамидах.
Как найти объём правильной четырёхугольной пирамиды?
Если сторона квадратного основания равна a, а высота пирамиды — h, то площадь основания S = a². Объём вычисляется по формуле V = 1/3 · a² · h.
Какова формула объёма усечённой пирамиды?
Для усечённой пирамиды с площадями оснований S1 и S2 и высотой h используется формула V = 1/3 · h · (S1 + S2 + √(S1 · S2)).