Можно ли построить несколько внешних углов при одной вершине?

Да. При каждой вершине можно продолжить любую из двух сторон и получить внешний угол. Оба таких угла вертикальны друг другу, поэтому равны. На практике достаточно рассмотреть один из них.

Чему равна сумма внешних углов треугольника?

Если взять по одному внешнему углу при каждой вершине (обходя контур в одном направлении), их сумма всегда равна 360°. Это свойство верно для любого треугольника — остроугольного, прямоугольного или тупоугольного.

Чем внешний угол отличается от смежного?

Внешний угол треугольника — это частный случай смежного угла: он образуется продолжением стороны треугольника и лежит рядом с внутренним углом при той же вершине. Любой внешний угол смежен с соответствующим внутренним, но не всякая пара смежных углов относится к треугольнику.

Как найти внешний угол, если известны только две стороны и несмежный угол?

Сначала найдите все внутренние углы — например, по теореме косинусов или синусов. Затем примените любую из двух формул: 180° минус угол при данной вершине либо сумма двух остальных внутренних углов.

Верно ли, что внешний угол всегда тупой?

Нет. Если внутренний угол при вершине острый, внешний — тупой; если внутренний тупой, внешний — острый; если внутренний прямой, внешний тоже прямой. Всё определяется соотношением 180° − α.

Как связаны синус и косинус внешнего и внутреннего углов?

Если φ — внешний угол, а α — смежный с ним внутренний, то sin φ = sin α, cos φ = −cos α, tg φ = −tg α. Эти тождества часто используют в задачах ЕГЭ, где нужно найти тригонометрические функции внешнего угла.

Найти внешний угол треугольника при вершине

Что такое внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника при вершине — угол, смежный с внутренним углом при этой вершине. Его получают, продолжая одну из сторон треугольника за выбранную вершину: новая полупрямая и вторая сторона, выходящая из той же точки, образуют искомый угол.

Если внутренний угол при вершине равен α, то внешний угол φ при той же вершине и α — смежные, поэтому:

$$\varphi + \alpha = 180^\circ$$

Отсюда сразу следует базовая расчётная формула:

$$\varphi = 180^\circ - \alpha$$

Теорема о внешнем угле

У внешнего угла есть второе, столь же важное выражение. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство в двух шагах:

Сумма внутренних углов треугольника: $$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$.
Внешний угол при вершине с углом α: $$\varphi = 180^\circ - \alpha$$.

Подставляем: $$\varphi = \beta + \gamma$$.

На практике это означает: чтобы найти внешний угол при вершине C, достаточно сложить углы A и B — и не обязательно заранее знать угол C.

Как найти внешний угол при вершине: пошаговый алгоритм

Определите, какой угол дан. Если известен внутренний угол при нужной вершине — вычитайте его из 180°. Если известны два других внутренних угла — складывайте их.
Проверьте единицу измерения. В школьных задачах ответ почти всегда требуется в градусах.
Убедитесь, что угол именно внешний. Он должен лежать вне треугольника и быть смежным с указанным внутренним.
Запишите ответ. При необходимости укажите, при какой вершине найден угол.

Примеры расчёта

Пример 1. Известен внутренний угол при той же вершине

В треугольнике ABC угол C равен 133°. Найти внешний угол при вершине C.

Решение. Внешний и внутренний углы при C смежны:

$$\varphi = 180^\circ - 133^\circ = 47^\circ$$

Ответ: 47°.

Пример 2. Известны два несмежных внутренних угла

В треугольнике ABC ∠A = 52°, ∠B = 61°. Найти внешний угол при вершине C.

Решение. По теореме о внешнем угле:

$$\varphi_C = \angle A + \angle B = 52^\circ + 61^\circ = 113^\circ$$

Проверка через внутренний угол C:

$$\angle C = 180^\circ - 52^\circ - 61^\circ = 67^\circ,\quad \varphi_C = 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ$$

Ответ: 113°.

Пример 3. Дан внешний угол и один внутренний

Внешний угол при вершине C равен 87°, угол ABC равен 47°. Найти угол при вершине A.

Решение. Внешний угол при C равен сумме углов A и B:

$$87^\circ = \angle A + 47^\circ \implies \angle A = 40^\circ$$

Ответ: 40°.

Пример 4. Внешний угол и отношение двух внутренних

Один из внешних углов треугольника равен 85°. Углы, не смежные с ним, относятся как 2 : 3. Найти наибольший из этих углов.

Решение. Пусть углы равны 2x и 3x. Тогда:

$$2x + 3x = 85 \implies 5x = 85 \implies x = 17$$

Больший угол: $$3x = 51^\circ$$

Ответ: 51°.

Частые ошибки

Путают внешний угол с вертикальным. Вертикальные углы равны, но внешний угол — это смежный к внутреннему, а не вертикальный к нему.
Складывают все три внутренних угла. Во внешний угол входят только два удалённых внутренних; угол при той же вершине в сумму не входит.
Забывают, что при вершине два равных внешних угла. Продолжение любой из двух сторон даёт один и тот же по величине угол (они вертикальны).
Неверно применяют тригонометрию. Синус внешнего угла совпадает с синусом внутреннего, а косинус и тангенс меняют знак — это важно в текстовых задачах ЕГЭ.

Краткая шпаргалка

Что известно	Как найти внешний угол при вершине
Внутренний угол α при этой вершине	$$180^\circ - \alpha$$
Два других внутренних угла β и γ	$$\beta + \gamma$$
Нужны sin / cos / tg внешнего угла	$$\sin\varphi = \sin\alpha,\ \cos\varphi = -\cos\alpha,\ \mathrm{tg},\varphi = -\mathrm{tg},\alpha$$

Для быстрой проверки удобно пользоваться онлайн-калькулятором: введите известные углы — и получите внешний угол при выбранной вершине без риска арифметической ошибки.