Математика·Геометрия

Угол между прямыми в градусах: формула и примеры

Найдите угол между прямыми в градусах по формуле. Калькулятор для общих уравнений и уравнений с угловым коэффициентом. Примеры расчета.

Первая прямая

Вторая прямая

Что такое угол между прямыми

Углом между двумя пересекающимися прямыми на плоскости называют меньший из двух углов, которые они образуют при пересечении. По определению этот угол лежит в интервале от 0° до 90°. Если прямые параллельны, угол считается равным 0°; если перпендикулярны — 90°.

Для нахождения угла в градусах используют тригонометрические функции, чаще всего тангенс или косинус, в зависимости от того, как заданы прямые.

Формулы для вычисления угла между прямыми

Выбор формулы зависит от способа задания прямых: через угловые коэффициенты, через общие уравнения или через направляющие векторы.

1. Через угловые коэффициенты

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом:

$$y = k_1 x + b_1, \quad y = k_2 x + b_2,$$

то острый угол φ между ними находят по формуле:

$$\tan \varphi = \left| \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right|.$$

Здесь модуль в числителе гарантирует, что φ будет острым (0° ≤ φ ≤ 90°). Если знаменатель (1 + k_1 k_2 = 0), прямые перпендикулярны, и угол равен 90° (тангенс не определён, но угол известен).

2. Через общие уравнения

Если прямые заданы общими уравнениями:

$$A_1 x + B_1 y + C_1 = 0, \quad A_2 x + B_2 y + C_2 = 0,$$

то угол φ вычисляется по формуле:

$$\cos \varphi = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}.$$

Эта формула использует скалярное произведение нормальных векторов ((A_1, B_1)) и ((A_2, B_2)). Модуль снова обеспечивает выбор острого угла.

3. Через направляющие векторы

Если известны направляющие векторы прямых (\vec{s}_1 = (p_1, q_1)) и (\vec{s}_2 = (p_2, q_2)), то:

$$\cos \varphi = \frac{|p_1 p_2 + q_1 q_2|}{\sqrt{p_1^2 + q_1^2} \cdot \sqrt{p_2^2 + q_2^2}}.$$

Этот способ удобен, когда прямые заданы каноническими или параметрическими уравнениями.

Примеры вычислений

Пример 1. Прямые с угловыми коэффициентами

Даны прямые: (y = 2x + 3) и (y = -3x + 1).

  • (k_1 = 2,; k_2 = -3)
  • Подставляем в формулу:

$$\tan \varphi = \left| \frac{2 - (-3)}{1 + 2 \cdot (-3)} \right| = \left| \frac{5}{1 - 6} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = 1.$$

  • (\varphi = \arctan(1) = 45^\circ).

Ответ: угол между прямыми равен 45°.

Пример 2. Прямые через общие уравнения

Даны прямые: (2x + 3y - 5 = 0) и (4x - y + 2 = 0).

  • (A_1 = 2, B_1 = 3;; A_2 = 4, B_2 = -1)
  • Вычисляем числитель: (|2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1)| = |8 - 3| = 5)
  • Знаменатель: (\sqrt{2^2 + 3^2} \cdot \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{13} \cdot \sqrt{17} \approx 3.6055 \cdot 4.1231 \approx 14.86)
  • (\cos \varphi = 5 / 14.86 \approx 0.3364)
  • (\varphi = \arccos(0.3364) \approx 70.3^\circ).

Ответ: ≈ 70,3°.

Пример 3. Перпендикулярные прямые

Проверим, что прямые (y = 2x + 1) и (y = -\frac{1}{2}x + 4) перпендикулярны.

  • (k_1 = 2,; k_2 = -0.5)
  • Знаменатель: (1 + 2 \cdot (-0.5) = 1 - 1 = 0) → прямые перпендикулярны.
  • Угол равен 90°.

Особые случаи

  • Параллельные прямые: если (k_1 = k_2) (или (A_1/A_2 = B_1/B_2)), угол равен 0°.
  • Вертикальная прямая: у неё угловой коэффициент не определён. Используйте общие уравнения: вертикальная прямая (x = a) записывается как (1 \cdot x + 0 \cdot y - a = 0), и применяется формула через нормальные векторы.
  • Одна из прямых — ось координат: например, угол между прямой (y = kx + b) и осью X (y = 0) находится как (\arctan|k|), так как угловой коэффициент оси X равен 0.

Как перевести радианы в градусы

Если результат вычисления арктангенса или арккосинуса получен в радианах, переведите его в градусы умножением на (180^\circ / \pi). Например, (\arctan(1) = \pi/4) рад = (45^\circ).

Наш онлайн-калькулятор автоматически выдаёт ответ в градусах, а при необходимости — и в радианах.

Часто задаваемые вопросы

Какой угол считается углом между прямыми?
Углом между двумя пересекающимися прямыми называют меньший из двух углов, которые они образуют при пересечении. Этот угол всегда лежит в пределах от 0° до 90°. Если прямые параллельны, угол считается равным 0°; если перпендикулярны — 90°.
Что делать, если одна из прямых вертикальная?
У вертикальной прямой угловой коэффициент не определен (стремится к бесконечности). В этом случае формула через угловые коэффициенты неприменима. Используйте общие уравнения прямой или найдите угол по направляющим векторам. Вертикальная прямая задается уравнением x = a, а её угол с осью X равен 90°.
Почему в формуле используется модуль?
Модуль в числителе дроби гарантирует, что результатом арктангенса будет острый угол (0°–90°). Без модуля мы могли бы получить тупой угол, что не соответствует общепринятому определению угла между прямыми как меньшего из двух.
Можно ли найти угол между прямыми в пространстве?
Да, для прямых в пространстве используется другая формула — через скалярное произведение направляющих векторов: cos φ = |(a·b)|/(|a|·|b|). Здесь также берут модуль, чтобы получить острый угол. Результат выражается в градусах через арккосинус.
Как найти угол между прямыми, если они заданы каноническими уравнениями?
Каноническое уравнение прямой: (x – x₀)/p = (y – y₀)/q, где (p, q) — направляющий вектор. Для двух прямых с направляющими векторами (p₁, q₁) и (p₂, q₂) угол вычисляется по формуле через скалярное произведение: cos φ = |p₁p₂ + q₁q₂| / (√(p₁²+q₁²) · √(p₂²+q₂²)).

Похожие калькуляторы и статьи