Угол между прямыми в градусах: формула и примеры

Что такое угол между прямыми

Углом между двумя пересекающимися прямыми на плоскости называют меньший из двух углов, которые они образуют при пересечении. По определению этот угол лежит в интервале от 0° до 90°. Если прямые параллельны, угол считается равным 0°; если перпендикулярны — 90°.

Для нахождения угла в градусах используют тригонометрические функции, чаще всего тангенс или косинус, в зависимости от того, как заданы прямые.

Формулы для вычисления угла между прямыми

Выбор формулы зависит от способа задания прямых: через угловые коэффициенты, через общие уравнения или через направляющие векторы.

1. Через угловые коэффициенты

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом:

$y = k_1 x + b_1, \quad y = k_2 x + b_2,$

то острый угол φ между ними находят по формуле:

$\tan \varphi = \left| \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right|.$

Здесь модуль в числителе гарантирует, что φ будет острым (0° ≤ φ ≤ 90°). Если знаменатель $1 + k_1 k_2 = 0$, прямые перпендикулярны, и угол равен 90° (тангенс не определён, но угол известен).

2. Через общие уравнения

Если прямые заданы общими уравнениями:

$A_1 x + B_1 y + C_1 = 0, \quad A_2 x + B_2 y + C_2 = 0,$

то угол φ вычисляется по формуле:

$\cos \varphi = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}.$

Эта формула использует скалярное произведение нормальных векторов $(A_1, B_1)$ и $(A_2, B_2)$. Модуль снова обеспечивает выбор острого угла.

3. Через направляющие векторы

Если известны направляющие векторы прямых $\vec{s}_1 = (p_1, q_1)$ и $\vec{s}_2 = (p_2, q_2)$, то:

$\cos \varphi = \frac{|p_1 p_2 + q_1 q_2|}{\sqrt{p_1^2 + q_1^2} \cdot \sqrt{p_2^2 + q_2^2}}.$

Этот способ удобен, когда прямые заданы каноническими или параметрическими уравнениями.

Примеры вычислений

Пример 1. Прямые с угловыми коэффициентами

Даны прямые: $y = 2x + 3$ и $y = -3x + 1$.

• $k_1 = 2,\; k_2 = -3$
• Подставляем в формулу:

$\tan \varphi = \left| \frac{2 - (-3)}{1 + 2 \cdot (-3)} \right| = \left| \frac{5}{1 - 6} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = 1.$

• $\varphi = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: угол между прямыми равен 45°.

Пример 2. Прямые через общие уравнения

Даны прямые: $2x + 3y - 5 = 0$ и $4x - y + 2 = 0$.

• $A_1 = 2, B_1 = 3;\; A_2 = 4, B_2 = -1$
• Вычисляем числитель: $|2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1)| = |8 - 3| = 5$
• Знаменатель: $\sqrt{2^2 + 3^2} \cdot \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{13} \cdot \sqrt{17} \approx 3.6055 \cdot 4.1231 \approx 14.86$
• $\cos \varphi = 5 / 14.86 \approx 0.3364$
• $\varphi = \arccos(0.3364) \approx 70.3^\circ$.

Ответ: ≈ 70,3°.

Пример 3. Перпендикулярные прямые

Проверим, что прямые $y = 2x + 1$ и $y = -\frac{1}{2}x + 4$ перпендикулярны.

• $k_1 = 2,\; k_2 = -0.5$
• Знаменатель: $1 + 2 \cdot (-0.5) = 1 - 1 = 0$ → прямые перпендикулярны.
• Угол равен 90°.

Особые случаи

• Параллельные прямые: если $k_1 = k_2$ (или $A_1/A_2 = B_1/B_2$), угол равен 0°.
• Вертикальная прямая: у неё угловой коэффициент не определён. Используйте общие уравнения: вертикальная прямая $x = a$ записывается как $1 \cdot x + 0 \cdot y - a = 0$, и применяется формула через нормальные векторы.
• Одна из прямых — ось координат: например, угол между прямой $y = kx + b$ и осью X (y = 0) находится как $\arctan|k|$, так как угловой коэффициент оси X равен 0.

Как перевести радианы в градусы

Если результат вычисления арктангенса или арккосинуса получен в радианах, переведите его в градусы умножением на $180^\circ / \pi$. Например, $\arctan(1) = \pi/4$ рад = $45^\circ$.

Наш онлайн-калькулятор автоматически выдаёт ответ в градусах.