Какой угол требуется найти

Пусть в треугольнике (ABC) проведены медианы (AA_1), (BB_1), (CC_1), а (G) — точка их пересечения, то есть центр тяжести.

Две медианы, например (AA_1) и (BB_1), пересекаются в точке (G). При этом образуются два угла:

[ \angle AGB \quad \text{и} \quad 180^\circ-\angle AGB. ]

Если в задаче сказано просто «найти угол между медианами», обычно подразумевают меньший угол между прямыми. Если же на рисунке или в условии указан угол (\angle AGB), он может быть как острым, так и тупым.

Формула через длины трёх медиан

Обозначим длины медиан так:

• (m_a=AA_1) — медиана к стороне (a=BC);
• (m_b=BB_1) — медиана к стороне (b=AC);
• (m_c=CC_1) — медиана к стороне (c=AB).

Для угла между медианами (AA_1) и (BB_1), то есть угла (\angle AGB), применяется формула:

[ \cos \angle AGB= \frac{m_c^2-m_a^2-m_b^2}{2m_am_b}. ]

Следовательно,

[ \angle AGB= \arccos\left( \frac{m_c^2-m_a^2-m_b^2}{2m_am_b} \right). ]

Чтобы получить меньший угол между прямыми (AA_1) и (BB_1), используйте модуль косинуса:

[ \alpha= \arccos\left| \frac{m_c^2-m_a^2-m_b^2}{2m_am_b} \right|. ]

Формула для других пар получается перестановкой индексов. Например, для медиан (BB_1) и (CC_1) третьей будет медиана (m_a).

Расчёт по сторонам треугольника

Если известны стороны (a), (b), (c), сначала найдите длины медиан по формуле Аполлония:

[ m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}, ]

[ m_b=\frac12\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}, ]

[ m_c=\frac12\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}. ]

Далее подставьте значения в основную формулу.

Для пары медиан (m_a) и (m_b) можно сразу использовать выражение через стороны:

[ \cos \angle AGB= \frac{a^2+b^2-5c^2}{8m_am_b}. ]

Здесь сторона (c=AB) соединяет вершины, из которых проведены рассматриваемые медианы.

Перед расчётом проверьте, что стороны образуют треугольник:

[ a+b>c,\qquad a+c>b,\qquad b+c>a. ]

Пример нахождения угла

Пусть известны длины медиан:

[ m_a=5,\qquad m_b=6,\qquad m_c=7. ]

Найдём угол (\angle AGB):

[ \cos \angle AGB= \frac{7^2-5^2-6^2}{2\cdot5\cdot6}

\frac{49-25-36}{60}

-\frac{1}{5}. ]

Тогда

[ \angle AGB=\arccos(-0{,}2)\approx101{,}54^\circ. ]

Это тупой угол при центре тяжести. Меньший угол между медианами равен:

[ 180^\circ-101{,}54^\circ=78{,}46^\circ. ]

Или сразу:

[ \alpha=\arccos(0{,}2)\approx78{,}46^\circ. ]

Частый частный случай: одна медиана в 1,5 раза больше стороны

Рассмотрим условие:

[ AA_1=1{,}5\cdot BC. ]

Нужно найти угол между двумя другими медианами (BB_1) и (CC_1).

Поскольку центр тяжести (G) делит медиану в отношении (2:1), считая от вершины, получаем:

[ GA_1=\frac13AA_1=\frac13\cdot1{,}5BC=\frac12BC. ]

Точка (A_1) — середина стороны (BC). Значит, в треугольнике (BGC) отрезок (GA_1) является медианой к стороне (BC) и равен половине этой стороны.

По обратной теореме о медиане в прямоугольном треугольнике:

[ \angle BGC=90^\circ. ]

Медианы (BB_1) и (CC_1) лежат на прямых (BG) и (CG), поэтому угол между ними равен:

[ \boxed{90^\circ}. ]

Как найти угол по координатам

Если заданы координаты вершин:

[ A(x_A,y_A),\quad B(x_B,y_B),\quad C(x_C,y_C), ]

найдите середины сторон:

[ A_1\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right), ]

[ B_1\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right). ]

Направляющие векторы медиан:

[ \vec u=\overrightarrow{AA_1}, \qquad \vec v=\overrightarrow{BB_1}. ]

Меньший угол между медианами определяется через скалярное произведение:

[ \cos\alpha= \frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\cdot|\vec v|}. ]

После этого остаётся вычислить:

[ \alpha=\arccos(\cos\alpha). ]

Этот метод особенно полезен, когда треугольник задан на координатной плоскости, а длины сторон или медиан отдельно не указаны.

Когда найти угол невозможно

Двух длин медиан недостаточно: третья медиана влияет на величину угла. Также нельзя однозначно определить угол между медианами, если известны только одна сторона и один угол треугольника.

Для точного ответа нужны все три стороны, все три медианы, координаты вершин либо дополнительное геометрическое условие — например, соотношение между медианой и стороной.