Угол между медианами треугольника

Какой угол требуется найти

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены медианы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, а $G$ — точка их пересечения, то есть центр тяжести.

Две медианы, например $AA_1$ и $BB_1$, пересекаются в точке $G$. При этом образуются два угла:

$\angle AGB \quad \text{и} \quad 180^\circ-\angle AGB.$

Если в задаче сказано просто «найти угол между медианами», обычно подразумевают меньший угол между прямыми. Если же на рисунке или в условии указан угол $\angle AGB$, он может быть как острым, так и тупым.

Формула через длины трёх медиан

Обозначим длины медиан так:

• $m_a=AA_1$ — медиана к стороне $a=BC$;
• $m_b=BB_1$ — медиана к стороне $b=AC$;
• $m_c=CC_1$ — медиана к стороне $c=AB$.

Для угла между медианами $AA_1$ и $BB_1$, то есть угла $\angle AGB$, применяется формула:

Следовательно,

Чтобы получить меньший угол между прямыми $AA_1$ и $BB_1$, используйте модуль косинуса:

Формула для других пар получается перестановкой индексов. Например, для медиан $BB_1$ и $CC_1$ третьей будет медиана $m_a$.

Расчёт по сторонам треугольника

Если известны стороны $a$, $b$, $c$, сначала найдите длины медиан по формуле Аполлония:

$m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2},$

$m_b=\frac12\sqrt{2a^2+2c^2-b^2},$

$m_c=\frac12\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}.$

Далее подставьте значения в основную формулу.

Для пары медиан $m_a$ и $m_b$ можно сразу использовать выражение через стороны:

Здесь сторона $c=AB$ соединяет вершины, из которых проведены рассматриваемые медианы.

Перед расчётом проверьте, что стороны образуют треугольник:

$a+b>c,\qquad a+c>b,\qquad b+c>a.$

Пример нахождения угла

Пусть известны длины медиан:

$m_a=5,\qquad m_b=6,\qquad m_c=7.$

Найдём угол $\angle AGB$:

Тогда

$\angle AGB=\arccos(-0{,}2)\approx101{,}54^\circ.$

Это тупой угол при центре тяжести. Меньший угол между медианами равен:

$180^\circ-101{,}54^\circ=78{,}46^\circ.$

Или сразу:

$\alpha=\arccos(0{,}2)\approx78{,}46^\circ.$

Частый частный случай: одна медиана в 1,5 раза больше стороны

Рассмотрим условие:

$AA_1=1{,}5\cdot BC.$

Нужно найти угол между двумя другими медианами $BB_1$ и $CC_1$.

Поскольку центр тяжести $G$ делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины, получаем:

$GA_1=\frac13AA_1=\frac13\cdot1{,}5BC=\frac12BC.$

Точка $A_1$ — середина стороны $BC$. Значит, в треугольнике $BGC$ отрезок $GA_1$ является медианой к стороне $BC$ и равен половине этой стороны.

По обратной теореме о медиане в прямоугольном треугольнике:

$\angle BGC=90^\circ.$

Медианы $BB_1$ и $CC_1$ лежат на прямых $BG$ и $CG$, поэтому угол между ними равен:

$\boxed{90^\circ}.$

Как найти угол по координатам

Если заданы координаты вершин:

$A(x_A,y_A),\quad B(x_B,y_B),\quad C(x_C,y_C),$

найдите середины сторон:

$A_1\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right),$

$B_1\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right).$

Направляющие векторы медиан:

Меньший угол между медианами определяется через скалярное произведение:

После этого остаётся вычислить:

$\alpha=\arccos(\cos\alpha).$

Этот метод особенно полезен, когда треугольник задан на координатной плоскости, а длины сторон или медиан отдельно не указаны.

Когда найти угол невозможно

Двух длин медиан недостаточно: третья медиана влияет на величину угла. Также нельзя однозначно определить угол между медианами, если известны только одна сторона и один угол треугольника.

Для точного ответа нужны все три стороны, все три медианы, координаты вершин либо дополнительное геометрическое условие — например, соотношение между медианой и стороной.