Как найти радиус равностороннего треугольника

Какой радиус требуется найти

У треугольника нет собственного радиуса, поэтому обычно речь идёт о радиусе одной из двух окружностей:

• описанной — окружности, проходящей через все три вершины;
• вписанной — окружности, касающейся всех трёх сторон.

Если в задаче просто сказано «найти радиус равностороннего треугольника», чаще всего подразумевается радиус описанной окружности. Его обозначают буквой R.

Для равностороннего треугольника со стороной a основной ответ такой:

$$ R=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a}{\sqrt{3}} $$

Как найти радиус описанной окружности по стороне

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности находится в точке пересечения высот, медиан и биссектрис. Он делит каждую высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому расстояние от центра до вершины составляет две трети высоты.

Высота треугольника со стороной a равна:

$$ h=\frac{a\sqrt{3}}{2} $$

Так как:

$$ R=\frac{2h}{3} $$

то после подстановки высоты получаем:

$$ R=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} =\frac{a\sqrt{3}}{3} $$

Обозначения

• R — радиус описанной окружности;
• a — сторона равностороннего треугольника;
• h — высота треугольника.

Коэффициент √3/3 примерно равен 0,577. Значит, радиус описанной окружности составляет около 57,7% длины стороны.

Если известна высота

Когда в условии дана высота h, сторону находить необязательно. Используйте прямую формулу:

$$ R=\frac{2h}{3} $$

Например, при высоте h = 9 см:

$$ R=\frac{2\cdot9}{3}=6\text{ см} $$

Обратное соотношение также полезно:

$$ h=\frac{3R}{2} $$

Расчёт через площадь

Площадь равностороннего треугольника вычисляют так:

$$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$

Из этой формулы можно получить радиус описанной окружности напрямую:

$$ R=\sqrt{\frac{4S}{3\sqrt{3}}} $$

где S — площадь треугольника. Такой вариант удобен, если в условии нет стороны или высоты, но известна площадь.

Например, если S = 27√3 см², то:

$$ R=\sqrt{\frac{4\cdot27\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}} =\sqrt{36}=6\text{ см} $$

Как найти радиус вписанной окружности

Если требуется радиус окружности, которая находится внутри треугольника и касается его сторон, используется обозначение r. Для равностороннего треугольника:

$$ r=\frac{a\sqrt{3}}{6} $$

Связь между двумя радиусами особенно простая:

$$ r=\frac{R}{2} $$

Поэтому сначала можно найти радиус описанной окружности, а затем разделить его на два.

Также радиус вписанной окружности связан с высотой:

$$ r=\frac{h}{3} $$

Пример решения по стороне

Условие: сторона равностороннего треугольника равна 12 см. Найти радиус описанной окружности.

Решение:

$$ R=\frac{a\sqrt{3}}{3} $$

Подставим значение стороны:

$$ R=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\text{ см} $$

Приближённо:

$$ R\approx4\cdot1{,}732\approx6{,}93\text{ см} $$

Ответ: 4√3 см, или примерно 6,93 см.

Для проверки найдём высоту:

$$ h=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{ см} $$

Тогда:

$$ \frac{2h}{3}=\frac{2\cdot6\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\text{ см} $$

Результат совпал.

Алгоритм вычисления

1. Определите, о какой окружности идёт речь: описанной или вписанной.
2. Выберите исходную величину — сторону, высоту или площадь.
3. Подставьте данные в подходящую формулу.
4. Сначала оставьте ответ с корнем, если требуется точное значение.
5. При необходимости округлите результат до нужного количества знаков.

Частые ошибки

• Путают радиусы R и r. Радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной.
• Используют формулу для произвольного треугольника без проверки. Выражение R = a√3/3 подходит только для равностороннего треугольника.
• Неверно округляют √3. Для приближённых расчётов обычно используют √3 ≈ 1,732, но точный ответ лучше записывать через корень.
• Смешивают единицы измерения. Если сторона дана в сантиметрах, радиус получится в сантиметрах; переводить единицы нужно до вычислений.
• Считают радиус равным половине стороны. Это неверно для описанной окружности: правильное соотношение — R ≈ 0,577a.