Математика·Геометрия

Радиус описанной окружности квадрата

Как найти радиус квадрата через сторону, диагональ, площадь и периметр. Разбираем 5 способов вычислить описанный радиус с проверкой единиц измерения.

Калькулятор радиуса описанной окружности квадрата

Выберите тип входных данных

Короткий ответ — готовые формулы

Основная формула радиуса описанной окружности квадрата через сторону a: R = a·√2 / 2 = a / √2.

Другие полезные формулы:

  • По диагонали d: R = d / 2.
  • По площади S: R = √(S / 2).
  • По периметру P: R = P / (4√2) = (P·√2) / 8.
  • По радиусу вписанной окружности r: R = r·√2 (так как r = a / 2).

Единицы результатов совпадают с единицами входных данных (см. раздел про проверку единиц).

Геометрический вывод (коротко)

Возьмём квадрат со стороной a. Диагональ квадрата по теореме Пифагора: d = √(a^2 + a^2) = a·√2. Центр описанной окружности — пересечение диагоналей, расстояние от центра до вершины равно половине диагонали: R = d / 2 = (a·√2) / 2 = a / √2.

Если известен радиус вписанной окружности r (расстояние от центра до стороны), то r = a / 2 ⇒ a = 2r ⇒ R = (2r) / √2 = r·√2.

Как найти R по разным входным данным

  1. По стороне a: R = a / √2.

  2. По диагонали d: R = d / 2.

  3. По площади S: a = √S ⇒ R = √S / √2 = √(S / 2).

  4. По периметру P: a = P / 4 ⇒ R = (P / 4) / √2 = P / (4√2).

  5. По радиусу вписанной окружности r: R = r·√2.

  6. По координатам вершин:

    • Найдите центр как середину любой диагонали: C = ((x1 + x3)/2, (y1 + y3)/2).
    • Вычислите расстояние R = √((xi − xc)^2 + (yi − yc)^2) для любой вершины (xi, yi). Перед этим убедитесь, что вершины задают квадрат (проверки ниже).

Примеры

  1. По стороне: a = 10 см ⇒ R = 10 / √2 ≈ 7.071 см.

  2. По диагонали: d = 16 см ⇒ R = 16 / 2 = 8 см.

  3. По площади: S = 50 см^2 ⇒ R = √(50 / 2) = √25 = 5 см.

  4. По радиусу вписанной: r = 3 см ⇒ R = 3·√2 ≈ 4.243 см.

Вычисления сделаны с достаточной точностью; при необходимости округляйте по правилам задачи.

Пошаговая инструкция для ручного или калькуляторного расчёта

  1. Определите, какие данные у вас есть: a, d, S, P, r или координаты.
  2. Подставьте в соответствующую формулу из раздела «Как найти R по разным входным данным».
  3. Проверьте единицы измерения — все величины в одной системе (см, м и т. п.).
  4. Вычисляйте без преждевременного округления; округляйте результат в самом конце.
  5. Для координатных вычислений сначала проверьте, что фигура — квадрат.

Частые ошибки и как их избежать

  • Путать R и r: R идёт к вершине, r — к стороне.
  • Делить не ту величину: радиус описанной окружности — половина диагонали, не половина стороны.
  • Округлять промежуточные значения слишком рано — это даёт накопленную ошибку.
  • Не проверять, что заданный четырёхугольник действительно квадрат: проверьте равенство сторон и прямые углы (скалярное произведение соседних векторов = 0).

Проверки корректности (если есть координаты)

  • Длины всех четырёх сторон должны быть равны.
  • Длины двух диагоналей должны быть равны.
  • Скалярное произведение соседних векторов стороны1·сторона2 = 0 (углы — 90°). Если одно из условий не выполняется, данная формула может дать неверный результат для произвольного четырёхугольника.

Краткая памятка (на одну страницу)

  • R = a / √2 = a·√2 / 2
  • R = d / 2
  • R = √(S / 2)
  • R = P / (4√2)
  • R = r·√2

Единицы — как у исходных данных; округляйте по задаче.

Если нужно — внизу страницы вы найдёте калькулятор, который автоматически рассчитает R по любому из перечисленных входных параметров и покажет пошаговые вычисления.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли найти описанный радиус по координатам вершин квадрата?
Да. Найдите центр как середину любой диагонали (или среднее всех четырёх вершин), затем вычислите расстояние от центра до любой вершины по формуле расстояния в декартовых координатах. Это расстояние и есть искомый радиус; при этом предварительно убедитесь, что фигура действительно квадрат (рёбра равны, углы — прямые).
Чем радиус описанной окружности отличается от радиуса вписанной?
Радиус описанной окружности (R) — расстояние от центра квадрата до вершины; радиус вписанной (r) — до середины стороны. Для квадрата оба центра совпадают, и связаны формулой R = r·√2 (или R = a/√2 и r = a/2). Разница — направление и значение: R ≈1.414·r.
Как выразить радиус через площадь квадрата?
Площадь квадрата S = a^2, значит a = √S. Подставляя в формулу R = a/√2 получаем R = √S / √2 = √(S/2). Эта формула удобна, когда известна только площадь: сначала проверьте единицы измерения, затем извлекайте корень и округляйте по необходимости.
Как проверить, что квадрат задан корректно перед расчётом радиуса?
Проверьте равенство длины всех четырёх сторон и равенство диагоналей; углы должны быть прямыми. В координатах используйте векторное скалярное произведение соседних сторон — оно равно нулю при прямом угле. Также убедитесь, что стороны не нулевой длины и не превышают пределы точности вычислений.
Почему результат часто получается иррациональным и как правильно округлять?
Диагональ квадрата содержит корень из двух, из‑за чего радиус обычно иррационален для целой стороны. Округлять следует по правилам задачи: для инженерных расчётов обычно 2–3 знака после запятой, для чертежей — до миллиметра. Предпочтительно сохранять вычисления в плавающей точке до окончательного округления.

Похожие калькуляторы и статьи