Квадрат радиуса окружности — формулы и примеры

Что такое квадрат радиуса (r^2) и зачем он нужен?

Радиус r — расстояние от центра окружности до любой точки на ней. Квадрат радиуса r^2 — просто квадрат этого числа. Он часто встречается в формулах (например, площадь S = πr^2), в аналитическом описании окружности (x−x0)^2 + (y−y0)^2 = r^2 и в задачах, где удобнее работать с r^2, а не с r.

Основные формулы для r^2

Краткая подборка формул и когда их применять:

• По площади круга S:
  • r^2 = S / π.
  • Применение: когда измерена площадь или её дана в задаче.
• По диаметру d:
  • r^2 = (d/2)^2 = d^2 / 4.
  • Применение: если известен диаметр.
• По длине окружности C:
  • r^2 = (C / (2π))^2 = C^2 / (4π^2).
  • Применение: при измерении периметра окружности.
• По хорде L и расстоянию p от центра до хорды:
  • r^2 = p^2 + (L/2)^2.
  • Применение: геометрические задачи с хордами.
• По расстоянию d от центра до внешней точки и длине касательной t:
  • t^2 = d^2 − r^2 ⇒ r^2 = d^2 − t^2.
  • Применение: задачи с касательными и внешними точками.
• Для описанной окружности треугольника со сторонами a, b, c и площадью Δ:
  • R = a·b·c / (4Δ) ⇒ r^2 = R^2 = a^2 b^2 c^2 / (16 Δ^2).
  • Применение: когда окружность описана около треугольника.
• По координатам трёх точек:
  • Найти центр (пересечение серединных перпендикуляров) и вычислить r^2 = (x1−x0)^2 + (y1−y0)^2.

Примеры: как вычислять r^2

1. По площади:

   • Дан S = 50 см^2. r^2 = S / π = 50 / π ≈ 15.915 см^2. r ≈ √15.915 ≈ 3.99 см.

2. По диаметру:

   • Дан d = 10 см. r^2 = d^2 / 4 = 100 / 4 = 25 см^2. r = 5 см.

3. По хорде и расстоянию до неё:

   • Хорда L = 8 см, расстояние от центра p = 3 см.
   • r^2 = p^2 + (L/2)^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 см^2. r = 5 см.

4. По сторонам треугольника:

   • Треугольник со сторонами 3, 4, 5: Δ = 6. R = (3·4·5)/(4·6) = 60/24 = 2.5. r^2 = 2.5^2 = 6.25.

5. По длине окружности:

   • C = 31.4159 (примерно 2π·5). r^2 = C^2/(4π^2) = 25.

Во всех примерах обратите внимание на единицы: r^2 даёт результат в квадратных тех же единицах, в которых заданы размеры (см^2, м^2 и т. п.).

Как найти r^2 по трём точкам: практический алгоритм

Вариант A — через стороны и площадь треугольника:

1. Найдите длины сторон a, b, c между точками.
2. Посчитайте полупериметр p = (a+b+c)/2 и площадь Δ через формулу Герона.
3. Радиус описанной окружности R = a·b·c /(4Δ). Тогда r^2 = R^2.

Вариант B — через координаты:

1. Для двух отрезков (например, AB и AC) найдите уравнения серединных перпендикуляров.
2. Решите систему двух линейных уравнений — получите координаты центра O(x0,y0).
3. r^2 = (x1−x0)^2 + (y1−y0)^2 (можно взять любую из трёх точек).

Оба подхода дают одинаковый результат; выбор зависит от того, какие данные удобнее считать.

Проверки, единицы и типичные ошибки

• Всегда следите за единицами: если длины в см, результат r^2 в см^2.
• Проверка: верните r в формулу площади S = πr^2 или длины C = 2πr и сравните с исходными данными.
• Частые ошибки: путать радиус и диаметр, забывать квадрат, подставлять данные в разных единицах или использовать слишком грубое значение π.
• Совет: при сомнении пересчитайте r^2 двумя способами (например, через площадь и через диаметр).

Короткий пошаговый алгоритм (для практики)

1. Определите, какие данные у вас есть (S, d, C, хорда, касательная, три точки).
2. Выберите соответствующую формулу из раздела “Основные формулы”.
3. Подставьте значения в одних единицах и выполните арифметику.
4. Проверяйте результат через обратную формулу или альтернативный метод.

Если нужно, можно использовать этот материал как основу для калькулятора: в зависимости от выбранного входного параметра автоматически подставлять нужную формулу и выдавать r^2 и r.