Найти градус дуги

Градусная мера дуги – это угол между радиусами, проведёнными в её концы. Чтобы найти градус дуги, нужно либо измерить центральный угол напрямую, либо вычислить его через длину дуги, хорду или вписанный угол. Способ выбирают по тому, какие данные есть в задаче.

Как найти градус дуги: четыре основные формулы

Запомните ключевое равенство: дуга и центральный угол, на неё опирающийся, имеют одинаковую градусную меру. Все остальные способы – это варианты найти именно этот центральный угол.

Калькулятор принимает один из четырёх наборов входных данных: центральный угол, длину дуги с радиусом, хорду с радиусом или вписанный угол. На выходе – градусная мера дуги, длина дуги и радианная мера. Если ввести длину или хорду без радиуса, расчёт невозможен – это особенность геометрии, а не ограничение инструмента.

Через центральный угол

Это базовый случай. Если радиусы OA и OB образуют угол 72°, то дуга AB, лежащая внутри этого угла, тоже равна 72°. Большая дуга, дополняющая её до полной окружности, составит 360° − 72° = 288°.

Когда в задаче дан угол в треугольнике или многоугольнике, вписанном в окружность, сначала проверьте, является ли он центральным (вершина в центре круга). Если да – задача решена в одно действие.

Через длину дуги

Длина дуги связана с её градусной мерой формулой L = π·R·α / 180. Отсюда:

α = (180 · L) / (π · R)

Пример. Радиус окружности R = 10 см, длина дуги L = 15,7 см.

α = (180 × 15,7) / (3,1416 × 10) ≈ 2826 / 31,416 ≈ 89,95° ≈ 90°.

Дуга составляет четверть окружности.

Если задача дана в радианах, переход ещё проще: φ = L/R, а α° = φ · (180/π).

Через хорду и радиус

Хорда – отрезок, соединяющий концы дуги. Из равнобедренного треугольника с боковыми сторонами R и основанием c получаем половину центрального угла:

α = 2 · arcsin(c / (2R))

Пример. Хорда c = 6, радиус R = 5.

c / (2R) = 6 / 10 = 0,6 arcsin(0,6) ≈ 36,87° α ≈ 73,74°.

Формула даёт меньшую дугу. Большая равна 360° − 73,74° = 286,26°.

Условие существования: c ≤ 2R. Если хорда равна диаметру, дуга составляет ровно 180°.

Через вписанный угол

Вписанный угол – это угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают её. По теореме о вписанном угле он равен половине дуги, на которую опирается:

α = 2β

Пример. Вписанный угол ∠ACB = 35°, опирается на дугу AB. Тогда дуга AB = 70°.

Следствия, которые часто выручают в задачах:

• угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90°;
• вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой;
• сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

Сектор круга и градус дуги

Если известна площадь сектора S и радиус R, градусную меру дуги, ограничивающей сектор, находят через формулу площади S = π·R²·α / 360:

α = (360 · S) / (π · R²)

Пример. Сектор площадью 50 см² в круге радиуса 10 см: α = (360 × 50) / (3,1416 × 100) ≈ 57,3°.

Типичные ошибки

• Путаница меры и длины. Дуга 60° на окружностях разного радиуса имеет разную длину, но одинаковую градусную меру.
• Забытая большая дуга. Хорда делит окружность на две дуги. Формула с arcsin даёт меньшую – это нужно учитывать в задачах с условием «больше 180°».
• Радианы вместо градусов. Калькулятор инженерного типа по умолчанию может считать в радианах. Перевод: 1 рад ≈ 57,2958°.
• Деление на π забыто. В формуле α = 180·L/(π·R) часто пропускают π и получают завышенный ответ примерно в 3,14 раза.

Связь градусов и радиан

Многие задачи в тригонометрии и физике записываются в радианах. Полезные соответствия:

Универсальные переходы: α° = φ · 180/π и φ = α° · π/180.