Длины сторон векторов по координатам

Формула длины вектора

Длина вектора — это модуль, обозначаемый |a|. Если вектор задан координатами (x; y), его длина находится по формуле:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Для вектора, заданного точками A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), сначала получают разности координат, а затем применяют ту же формулу:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Это расстояние между двумя точками. Квадраты делают результат одинаковым независимо от порядка вычитания.

Применение для нахождения длин сторон

Чтобы найти длины сторон фигуры, например треугольника ABC, вычисляют три расстояния: AB, BC и CA. Каждая длина соответствует модулю соответствующего вектора стороны.

Порядок действий:

1. Записать координаты трёх вершин.
2. Для каждой пары точек подставить значения в формулу.
3. Извлечь корни и сложить при необходимости (например, для периметра).

Пример расчёта

Даны точки A(–1; 2), B(3; 2), C(2; 6). Найдём длины сторон треугольника.

• AB: $\sqrt{(3 - (-1))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{16} = 4$
• BC: $\sqrt{(2 - 3)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$
• CA: $\sqrt{(-1 - 2)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$

Стороны равны 4, $\sqrt{17}$ и 5.

Расчёт в пространстве

В трёхмерном случае формула расширяется:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Метод не меняется: разности координат возводятся в квадрат и суммируются под корнем. Этот подход подходит и для нахождения длин ребёр в пространственных фигурах.

Частые ошибки при вычислениях

• Сложение абсолютных значений координат вместо их квадратов.
• Забывание извлечь квадратный корень после суммирования.
• Ошибки в знаках при вычитании координат (квадрат исправляет знак автоматически).

Проверяйте результат на положительность и соответствие условиям задачи. Для точных расчётов используйте специализированный калькулятор длин векторов.