Найти длину отрезка прямой: формулы и примеры

Формула длины отрезка на прямой

На координатной прямой длина отрезка AB с координатами точек A(a) и B(b) вычисляется так: AB = |b − a|.

Знак модуля гарантирует, что результат неотрицательный; порядок вычитания не важен: |b − a| = |a − b|. Единицы результата те же, что и у координат (например, сантиметры, метры).

Пошаговый пример (прямая)

• Пример 1: A(−3), B(6)

  1. Разность: 6 − (−3) = 9.
  2. Модуль: |9| = 9. Ответ: 9.

• Пример 2: A(−2), B(−5,9)

  1. Разность: −5,9 − (−2) = −3,9.
  2. Модуль: |−3,9| = 3,9.

Если координаты заданы буквами (a и b), длина отрезка — |b − a|.

Длина отрезка на плоскости (2D)

Для точек A(x1, y1) и B(x2, y2): AB = √[(x2 − x1)² + (y2 − y1)²].

• Частные случаи:

  • Горизонтальный отрезок (y1 = y2): AB = |x2 − x1|.
  • Вертикальный отрезок (x1 = x2): AB = |y2 − y1|.

• Пример: A(1, 6), B(8, 1) dx = 7, dy = −5 → AB = √(7² + (−5)²) = √(49 + 25) = √74 ≈ 8,60.

Длина отрезка в пространстве (3D)

Для точек A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2): AB = √[(x2 − x1)² + (y2 − y1)² + (z2 − z1)²].

• Пример: A(1, 2, 3), B(−2, 1, 7) dx = −3, dy = −1, dz = 4 → AB = √(9 + 1 + 16) = √26 ≈ 5,10.

Полезные проверки и единицы

• Длина не может быть отрицательной; равна нулю, если точки совпадают.
• Все координаты должны быть в одних и тех же единицах измерения.
• Округляйте результат в конце вычислений до нужной точности.
• Для 2D/3D можно оценить ответ: AB не меньше |dx| и |dy| (или |dz|), и не меньше максимального из этих модулей.

Типичные ошибки

• Забывают знак модуля на прямой и получают отрицательное число.
• Неверно возводят в квадрат отрицательные разности (−5)² = 25, а не −25.
• Смешивают разные единицы (см и мм) в координатах.
• Рано округляют dx, dy, что искажает корень.
• Путают формулу расстояния с угловым коэффициентом (тангенсом угла наклона).

Как пользоваться калькулятором на этой странице

• Выберите размерность: прямая (1D), плоскость (2D) или пространство (3D).
• Введите координаты точек A и B. При необходимости укажите единицы и нужное округление.
• Нажмите «Рассчитать». Калькулятор выдаст точный ответ (с корнем) и десятичное приближение.
• Измените входные данные для новых расчётов или сохраните ссылку с результатом.

Часто задаваемые вопросы

Чем отличается длина отрезка от расстояния между точками?

В школьной геометрии это одно и то же: длина отрезка AB равна расстоянию между точками A и B. На прямой вычисляют модулем разности координат |b − a|, на плоскости и в пространстве — по формуле с квадратами разностей координат. Результат всегда неотрицательный.

Как найти длину отрезка, если известна середина и одна точка?

Используйте формулу середины. Если M — середина AB, то в 1D: xB = 2·xM − xA. В 2D: xB = 2·xM − xA, yB = 2·yM − yA (аналогично в 3D для z). После восстановления второй точки посчитайте расстояние обычной формулой. Это удобно при задачах на геометрию координат.

Что делать, если координаты даны дробями или с корнями?

Выполняйте действия точно: сначала найдите разности координат, затем возведите их в квадрат и сложите. Корень из суммы можно оставить как √N (точный ответ) или оценить десятичным приближением в конце. Не округляйте промежуточные значения — так вы избежите накопления ошибки.

Как понять, что отрезок горизонтальный или вертикальный в 2D?

Если x-координаты равны (x1 = x2), отрезок вертикальный, его длина равна |y2 − y1|. Если y-координаты равны (y1 = y2), отрезок горизонтальный, длина равна |x2 − x1|. В остальных случаях отрезок наклонный, используйте полную формулу с квадратами dx и dy.

Как посчитать длину отрезка без калькулятора?

Ищите «красивые» квадраты и пифагоровы тройки. Например, при dx = 3 и dy = 4 длина равна 5. Если сумма квадратов не является квадратом целого числа, выделяйте множители под корнем и упрощайте: √(100·3) = 10√3. Десятичное приближение можно оценить по таблице квадратов.

Подходит ли формула для координат широты и долгот на карте?

Нет, на сфере расстояние рассчитывают иначе (например, по формуле гаверсинусов или через проекции). Евклидова формула работает для декартовых координат. Для небольших участков в одной проекции приближение может быть приемлемо, но для точных геодезических расчётов используйте специальные методы.