Как найти радиус окружности

Обновлено 19 августа 2026 г.

Изучите способы нахождения радиуса окружности: через диаметр, площадь, длину, вписанные фигуры и уравнение. Формулы с примерами и сводная таблица.

Все калькуляторы раздела «Геометрия» (297) →

Радиус окружности — это расстояние от её центра до любой точки на границе. Умение находить радиус необходимо не только на уроках геометрии, но и в инженерных расчётах, архитектуре и даже в повседневной жизни. В этой статье собраны все основные способы вычисления радиуса: от простейших формул до решений задач с клетчатой бумагой.

1. Базовые формулы

Через диаметр

Радиус равен половине диаметра: $r = \frac{D}{2}$ Пример. Диаметр колеса 60 см. Радиус: 60/2 = 30 см.

Через длину окружности

Длина окружности $C$ связана с радиусом формулой $C = 2\pi r$ . Отсюда: $r = \frac{C}{2\pi}$ Пример. Длина окружности 31,4 м. Радиус: 31,4 / (2 × 3,14) = 5 м.

Через площадь круга

Площадь круга $S = \pi r^2$ . Выражаем радиус: $r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$ Пример. Площадь круга 78,5 см². Радиус: √(78,5 / 3,14) = √25 = 5 см.

2. Радиус через вписанные и описанные фигуры

Вписанный квадрат

Если квадрат вписан в окружность, то диагональ квадрата равна диаметру окружности. Сторона квадрата $a$ связана с диагональю $d = a\sqrt{2}$ . Тогда: $r = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ Пример. Сторона квадрата 4 см. Радиус описанной окружности: (4√2)/2 = 2√2 ≈ 2,83 см.

Описанный квадрат

Если окружность вписана в квадрат, её радиус равен половине стороны квадрата: $r = \frac{a}{2}$ Пример. Сторона квадрата 10 см. Радиус вписанной окружности: 10/2 = 5 см.

Вписанный прямоугольник

Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности. Если известны стороны прямоугольника $a$ и $b$ , диагональ находим по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad r = \frac{d}{2}$ Пример. Стороны 6 см и 8 см. Диагональ √(36+64)=10 см. Радиус: 10/2 = 5 см.

Описанная окружность около треугольника

Радиус описанной окружности для любого треугольника можно найти по формуле: $R = \frac{abc}{4S}$ где $a, b, c$ — стороны, $S$ — площадь треугольника.

Пример. Стороны треугольника 13, 14, 15 см. Площадь по формуле Герона: полупериметр p = (13+14+15)/2 = 21, S = √(21·8·7·6) = √7056 = 84 см². Тогда R = (13·14·15)/(4·84) = 2730/336 ≈ 8,125 см.

Вписанная окружность в треугольник

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{S}{p}$ где $S$ — площадь, $p$ — полупериметр.

Для прямоугольного треугольника с катетами $a, b$ и гипотенузой $c$ : $r = \frac{a + b - c}{2}$

Пример. Прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 см. Гипотенуза: √(25+144)=13 см. Радиус вписанной окружности: (5+12-13)/2 = 2 см.

Правильный многоугольник

Для правильного многоугольника с количеством сторон $n$ и длиной стороны $a$ радиус описанной окружности: $R = \frac{a}{2 \sin(180^\circ / n)}$ Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a}{2 \tan(180^\circ / n)}$

Пример. Правильный шестиугольник со стороной 10 см. R = 10/(2·sin30°) = 10/(2·0,5) = 10 см. r = 10/(2·tan30°) = 10/(2·0,577) ≈ 8,66 см.

3. Радиус через сектор круга

Если известна площадь сектора $S*{\text{сек}}$ и его центральный угол $\alpha$ (в градусах), радиус можно вычислить так: $r = \sqrt{\frac{360^\circ \cdot S*{\text{сек}}}{\pi \alpha}}$

Пример. Площадь сектора 15,7 см², угол 90°. Радиус: √((360·15,7)/(3,14·90)) = √(5652/282,6) = √20 = 4,47 см.

4. Радиус через уравнение окружности

Если окружность задана уравнением в декартовой системе: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$ то радиус $R$ — квадратный корень из правой части. Если уравнение приведено к виду $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ , радиус можно найти после выделения полных квадратов: $R = \sqrt{\left(\frac{A}{2}\right)^2 + \left(\frac{B}{2}\right)^2 - C}$

Пример. Окружность $x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0$ . Выделяем квадраты: $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 36$ . Радиус = 6.

5. Сводная таблица формул для нахождения радиуса

Известная величина	Формула
Диаметр $D$	$r = D/2$
Длина окружности $C$	$r = C/(2\pi)$
Площадь круга $S$	$r = \sqrt{S/\pi}$
Сторона описанного квадрата $a$	$r = a/2$
Сторона вписанного квадрата $a$	$r = a\sqrt{2}/2$
Стороны прямоугольника $a, b$	$r = \sqrt{a^2+b^2}/2$
Стороны треугольника $a,b,c$ и площадь $S$ (описанная)	$R = abc/(4S)$
Площадь треугольника $S$ и полупериметр $p$ (вписанная)	$r = S/p$
Сторона правильного многоугольника $a$ и число сторон $n$ (описанная)	$R = a/(2 \sin(180^\circ/n))$
Сторона правильного многоугольника $a$ и число сторон $n$ (вписанная)	$r = a/(2 \tan(180^\circ/n))$
Площадь сектора $S_{\text{сек}}$ и центральный угол $\alpha$	$r = \sqrt{360^\circ \cdot S_{\text{сек}}/(\pi \alpha)}$

6. Как найти радиус на клетчатой бумаге (задачи ЕГЭ)

Типичная задача: на клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура, требуется найти радиус вписанной или описанной окружности. Главное правило — длину отрезка считайте по клеткам, а затем примените соответствующую формулу.

Пример. В четырёхугольнике $ABCD$ все стороны равны как гипотенузы треугольников с катетами 1 и 3, значит, это квадрат. Сторона квадрата равна $\sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$ . Радиус вписанной окружности в квадрат — половина стороны: $\sqrt{10}/2$ . Если требуется записать ответ в виде $R = r\sqrt{x}$ , уточните форму из условия. В некоторых задачах просят указать $R\sqrt{5}$ и т.п. — всегда внимательно читайте требование.

7. Частые ошибки и рекомендации

Путают радиус и диаметр. Прежде чем подставлять в формулу, убедитесь, что вы используете именно радиус, а не диаметр.
Забывают про квадратный корень. В формулах через площадь круга или площадь сектора радиус извлекается из квадрата.
Неправильно считают на клетчатой бумаге. Используйте теорему Пифагора: если отрезок идёт по диагонали, его длина равна корню из суммы квадратов катетов в клетках.
Путают вписанную и описанную окружности. Вписанная окружность касается всех сторон многоугольника изнутри, описанная проходит через все вершины снаружи. Для одной и той же фигуры их радиусы различны.

С помощью этой статьи вы без труда найдёте радиус в любой геометрической ситуации. Если вам нужен быстрый расчёт, воспользуйтесь нашим онлайн-калькулятором.

Часто задаваемые вопросы

В чём разница между радиусом и диаметром?

Радиус — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней. Диаметр — это отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки окружности; он равен двум радиусам. Обе величины используются для описания размеров окружности, но в формулах важно не перепутать: если известен диаметр, для получения радиуса нужно разделить его на два.

Как найти радиус окружности по трём точкам?

Для этого нужно найти центр окружности. Составьте систему уравнений, подставив координаты точек в общее уравнение окружности (x – a)² + (y – b)² = R², или воспользуйтесь методом перпендикулярных биссектрис отрезков между точками. На практике часто проще построить треугольник по точкам и найти радиус описанной около него окружности по формуле R = abc/(4S).

Какая буква используется для обозначения радиуса: r или R?

Оба обозначения встречаются. Строчная r обычно используется для радиуса вписанной окружности, заглавная R — для радиуса описанной окружности. В общих формулах, где контекст очевиден, допускается любая буква. Главное — не путать радиус с диаметром (D или d).

Как найти радиус окружности, если известна длина хорды и расстояние от центра до хорды?

Если провести радиусы к концам хорды, образуется равнобедренный треугольник. Его высота, опущенная на хорду, равна расстоянию от центра до хорды. Радиус можно найти по теореме Пифагора: R = √((длина хорды / 2)² + расстояние²). Этот метод часто применяется в задачах с клетчатой бумагой.

Может ли радиус быть отрицательным?

Нет, радиус — это расстояние от центра до границы окружности, поэтому он всегда неотрицателен. В геометрических задачах радиус строго положителен. Если в результате вычислений получилось отрицательное число, значит, допущена ошибка в расчётах или неверно выбрана формула.

В каких единицах измеряется радиус?

Радиус измеряется в тех же единицах длины, что и другие линейные размеры: миллиметры, сантиметры, метры, километры и т.д. Если в задаче используется клетчатая бумага, сторона клетки задаёт единицу длины. В ответе обычно указывают число без единицы, если она подразумевается.

Как найти радиус вписанной окружности в произвольный треугольник?

Для произвольного треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле r = S / p, где S — площадь треугольника, а p — полупериметр (половина суммы всех сторон). Если треугольник прямоугольный, можно использовать формулу r = (a + b – c) / 2, где a и b — катеты, c — гипотенуза.

Похожие калькуляторы и статьи