Векторное произведение векторов a и b
Узнайте, как вычислить векторное произведение векторов a и b. Формула в координатах, свойства операции, геометрический смысл и практические примеры.
Определение операции
Векторное произведение векторов a и b даёт новый вектор c, который перпендикулярен плоскости исходных векторов. Его длина численно совпадает с площадью параллелограмма, а направление фиксируется правилом правой руки.
Формула в координатах
При заданных компонентах a = {ax, ay, az} и b = {bx, by, bz} вектор c вычисляют через определитель:
c = a × b = i (ay bz − az by) − j (ax bz − az bx) + k (ax by − ay bx)
В итоговых компонентах это выглядит так:
c = {ay bz − az by, az bx − ax bz, ax by − ay bx}
Пошаговый расчёт
- Запишите координаты обоих векторов.
- Вычислите каждую компоненту отдельно по формуле выше.
- Получите итоговый вектор c с проверкой знаков.
- При необходимости найдите длину |c| для определения площади.
Свойства векторного произведения
- Антикоммутативность: a × b = −b × a.
- Однородность: (k a) × b = k (a × b).
- Дистрибутивность: a × (b + c) = a × b + a × c.
- Коллинеарность: если векторы параллельны, произведение равно нулю.
Геометрический смысл
Модуль полученного вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b. Для площади треугольника достаточно разделить эту величину пополам.
Пример вычисления
Пусть a = {3, 1, −2} и b = {−1, 4, 5}.
x-компонента: 1·5 − (−2)·4 = 5 + 8 = 13
y-компонента: − (3·5 − (−2)·(−1)) = − (15 − 2) = −13
z-компонента: 3·4 − 1·(−1) = 12 + 1 = 13
Результат: c = {13, −13, 13}.
Модуль вектора |c| = √(169 + 169 + 169) = 13√3, что соответствует площади параллелограмма.