Площадь треугольника ABC

7 мая 2026 г.

Решение задачи на вычисление площади треугольника ABC зависит от исходных данных. В геометрии существует семь основных способов расчёта – от базового через высоту до векторного произведения координат.

Калькулятор площади треугольника

Выберите метод расчета

Основание (a) Высота (h)

* Результаты расчетов являются математическим приближением. Пожалуйста, убедитесь, что исходные данные соответствуют неравенству треугольника (для Герона).

Какую формулу выбрать?

Выбор метода определяется тем, что дано в условии задачи:

Исходные данные	Формула	Обозначения
Основание и высота	S = ½·a·h	a – сторона, h – высота к ней
Две стороны и угол	S = ½·a·b·sin(C)	a, b – стороны, C – угол между ними
Три стороны (формула Герона)	S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]	p – полупериметр
Координаты вершин	S = ½	(x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂))	(x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) – координаты точек A, B, C
Радиус описанной окружности	S = abc/(4R)	a, b, c – стороны, R – радиус
Радиус вписанной окружности	S = p·r	p – полупериметр, r – радиус
Две медианы и угол	S = ⅔·m₁·m₂·sin(γ)	m₁, m₂ – медианы, γ – угол между ними

Через сторону и высоту

Самый простой способ применяется, когда известна длина одной стороны и высота, опущенная на неё. Формула:

S = ½ · a · h

Где:

a – сторона треугольника (основание),
h – высота, опущенная из противоположной вершины на сторону a.

Пример. В треугольнике ABC сторона AC = 8 см, а высота BD = 5 см. Площадь равна ½ × 8 × 5 = 20 см².

Формула Герона

Если известны длины всех трёх сторон (a, b, c), но неизвестны углы или высоты, используйте формулу Герона. Сначала вычислите полупериметр:

p = (a + b + c) / 2

Затем площадь:

S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)]

Пример. Стороны треугольника ABC равны 5 м, 6 м и 7 м. Полупериметр p = (5+6+7)/2 = 9 м. Площадь S = √[9×(9-5)×(9-6)×(9-7)] = √[9×4×3×2] = √216 ≈ 14,7 м².

Через две стороны и угол

Когда известны две стороны и угол между ними, площадь равна половине произведения сторон на синус угла:

S = ½ · a · b · sin(C)

Где угол C – это угол между сторонами a и b в вершине C.

Пример. Стороны AB = 10 см и AC = 12 см образуют угол A = 30°. Тогда S = ½ × 10 × 12 × sin(30°) = ½ × 120 × 0,5 = 30 см².

По координатам вершин

Если точки A, B, C заданы координатами на плоскости (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃), используйте формулу:

S = ½ |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

Или в виде определителя:

S = ½ |det({x₂-x₁, x₃-x₁}, {y₂-y₁, y₃-y₁})|

Пример. Вершины A(1;1), B(4;1), C(1;5). Подставляем: S = ½ |1(1-5) + 4(5-1) + 1(1-1)| = ½ |(-4) + 16 + 0| = ½ × 12 = 6 единиц².

Проверка результата

Для прямоугольного треугольника площадь, найденная через катеты, должна совпадать с результатом по формуле Герона. Достаточное условие существования: площадь должна быть положительной, а для формулы Герона – все множители под корнем неотрицательны (выполняется неравенство треугольника).

Источники: учебник геометрии 7–9 классов (Атанасян и др.), формулы из справочника по элементарной математике Выгодского.

Часто задаваемые вопросы

Как найти площадь треугольника, если известны только две стороны?

Недостаточно данных. Для расчёта нужно знать угол между этими сторонами, тогда площадь равна половине произведения сторон на синус угла: S = ½ab·sin(C). Без угла задача имеет бесконечное множество решений.

Можно ли рассчитать площадь треугольника по трём углам?

Нет, площадь определяется не только углами. Треугольники с одинаковыми углами подобны, но их площади отличаются пропорционально квадрату коэффициента масштаба. Для расчёта нужна хотя бы одна линейная величина.

В чём измеряется площадь треугольника ABC?

В квадратных единицах соответствующей системы измерения: квадратные сантиметры (см²), квадратные метры (м²), гектары (га). Если стороны заданы без единиц, площадь выражается в условных квадратных единицах.

Что такое полупериметр в формуле Герона?

Полупериметр (p) – это половина суммы длин всех сторон треугольника: p = (a + b + c) / 2. Используется в формуле Герона как вспомогательная величина для упрощения записи.

Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Можно как обычный треугольник через основание и высоту, но проще – как половину произведения катетов: S = ½·a·b, где a и b – катеты, образующие прямой угол.