Найдите площадь треугольника ABC

Обновлено 2 августа 2026 г.

Как найти площадь треугольника ABC: коротко — по основанию и высоте, по двум сторонам и углу, по трём сторонам (Герон) и по координатам. Примеры и проверка.

Найдите площадь треугольника ABC

Выбор метода: с чего начать

Прежде чем считать площадь треугольника ABC, определите, какие данные вам даны: стороны, высота, одна сторона и прилежащий угол, координаты вершин, радиусы вписанной или описанной окружности. От типа данных зависит удобная формула: выбирайте самый прямой способ, чтобы избежать лишних преобразований и ошибок.

Основные формулы площади

Обозначения: вершины A, B, C; стороны напротив вершин — a = BC, b = CA, c = AB; полупериметр s = (a + b + c)/2; площадь обозначим S.

По основанию и высоте: S = 1/2 · base · height, например S = 1/2 · a · h_a.
По двум сторонам и углу между ними: S = 1/2 · b · c · sin(α) = 1/2 · a · b · sin(γ) и т. д. (угол в радианах или градусах, важно корректное использование).
Формула Герона (трёх сторон): S = sqrt[ s(s − a)(s − b)(s − c) ].
По координатам вершин A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃): S = 1/2 · | x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂) |.
Через радиусы: S = r · s (r — радиус вписанной окружности), S = a·b·c / (4R) (R — радиус описанной окружности).
Векторный вид (в координатах): S = 1/2 · | (→AB × →AC) |.

Единицы: если длины в метрах, площадь в м²; если в см — см².

Пошаговые примеры

Пример 1. По основанию и высоте

Дано: BC = 10 см (основание a), высота из A на BC равна h_a = 6 см. S = 1/2 · a · h_a = 1/2 · 10 · 6 = 30 см².

Пример 2. Две стороны и угол между ними

Дано: AB = 7, AC = 9, угол ∠A = 60° (между AB и AC). S = 1/2 · AB · AC · sin(∠A) = 0.5 · 7 · 9 · sin 60° sin 60° = √3/2 ≈ 0.8660254, поэтому S ≈ 31.5 · 0.8660254 ≈ 27.28 (единицы длины²).

Пример 3. По трём сторонам (формула Герона)

Дано: a = 13, b = 14, c = 15. s = (13 + 14 + 15)/2 = 21. S = sqrt[21·(21−13)·(21−14)·(21−15)] = sqrt[21·8·7·6] = sqrt[7056] = 84 (единицы²).

Пример 4. По координатам вершин

Дано: A(1,2), B(4,6), C(−1,5). S = 1/2 · |1·(6−5) + 4·(5−2) + (−1)·(2−6)| = 1/2 · |1 + 12 + 4| = 1/2 · 17 = 8.5 (единицы²).

Проверка и типичные ошибки

Проверьте, что стороны удовлетворяют неравенствам треугольника: a + b > c и т. д. Иначе треугольник вырожден.
Не перепутайте, какая сторона против какой вершины: a — против A, b — против B, c — против C.
При использовании sin(угол) убедитесь в режиме калькулятора (градусы/радианы).
Формула по координатам даёт знак в зависимости от порядка вершин: возьмите модуль.
Округляйте аккуратно и не теряйте единицы измерения; при проверке используйте альтернативный метод (например, Герон и S = r·s).

Короткая памятка

Даны основание и высота → S = 1/2·base·height.
Даны две стороны и угол между ними → S = 1/2·ab·sin(γ).
Даны три стороны → Герон: S = sqrt[s(s−a)(s−b)(s−c)].
Даны координаты → детерминант/векторный метод.
Имеется r и s → S = r·s; есть R → S = abc/(4R).

Если у вас есть конкретные данные для треугольника ABC (значения сторон, координаты или углы), вставьте их сюда — можно привести расчётный пример шаг за шагом.

Часто задаваемые вопросы

Как найти высоту треугольника ABC, если известны только стороны?

Если известны только длины сторон a, b, c, сначала найдите полупериметр s = (a + b + c)/2, затем площадь по формуле Герона S = sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]. Высоту к стороне a вычисляют как h_a = 2S/a. Для аккуратности проверьте вычисления на калькуляторе и соблюдайте правила округления.

Можно ли применять формулу 1/2·ab·sin(C), если угол дан в радианах?

Да, формула S = 1/2·ab·sin(γ) верна независимо от единиц измерения угла. Главное — вычислить синус в тех же единицах, в которых работает ваш калькулятор (градусы или радианы). Ошибка в режиме тригонометрии даёт неверный результат, поэтому перед вычислением проверьте настройку прибора.

Как вычислить площадь по координатам вершин A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃)?

Используйте детерминантную формулу S = 1/2·|x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)|. Подставьте координаты, вычислите значение в модуле и разделите на два. Следите за порядком вершин: порядок влияет на знак, но модуль всегда даёт положительную площадь.

Как быстро проверить, что найденная площадь треугольника верна?

Проверьте площадь двумя независимыми методами: например, сравните результат Герона и формулы S = r·s (если известен r), либо используйте S = 1/2·base·height и S = 1/2·ab·sin(γ) при подходящих данных. Контролируйте единицы измерения и соблюдение неравенства треугольника.

Можно ли найти площадь, зная только радиус вписанной окружности r?

Одна только r не определяет площадь — нужна ещё информация о размерах (например, полупериметр s). Если известен r и s, то S = r·s. Часто r используют как дополнительную проверку: вычисляют S по другим формулам и проверяют соотношение S/s = r.