Найдите боковое ребро правильной призмы
Разбор задачи: как найти боковое ребро правильной призмы, известна сторона основания и площадь полной поверхности. Формулы, пошаговое решение и примеры.
Что такое правильная призма
Правильная призма — это многогранник, у которого основание является правильным многоугольником (все стороны и углы одинаковы), а все боковые грани — равные прямоугольники. Боковое ребро обозначается (h) и одновременно является высотой призмы.
Формула полной площади поверхности правильной призмы
Площадь полной поверхности ((P)) состоит из двух оснований и боковой поверхности:
[ P = 2 S*{\text{осн}} + S*{\text{бок}}, ]
где
- (S_{\text{осн}}) — площадь основания,
- (S_{\text{бок}} = n a h) — площадь боковой поверхности,
- (n) — число сторон основания,
- (a) — длина стороны основания,
- (h) — боковое ребро (высота).
Площадь правильного (n)-угольника вычисляется так:
[ S_{\text{осн}} = \frac{n a^{2}}{4 \tan\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}. ]
Подставив (S_{\text{бок}} = n a h) в формулу полной площади, получаем
[ P = 2!\left(\frac{n a^{2}}{4 \tan\frac{\pi}{n}}\right) + n a h. ]
Отсюда боковое ребро выражается через известные величины:
[ h = \frac{P - 2 S_{\text{осн}}}{n a}. ]
Как найти боковое ребро: пошаговый алгоритм
- Определите количество сторон основания ((n)). Для квадратной призмы (n=4), для треугольной — (n=3) и т.д.
- Подставьте известную длину стороны основания ((a)) в формулу площади основания и вычислите (S_{\text{осн}}).
- Вычтите удвоенную площадь основания из полной площади: (S*{\text{бок}} = P - 2 S*{\text{осн}}).
- Разделите полученную боковую площадь на произведение периметра основания ((n a)): (h = \dfrac{S_{\text{бок}}}{n a}).
- Проверьте результат: подставьте найденное (h) обратно в формулу полной площади, чтобы убедиться в совпадении.
Примеры расчёта
Пример 1. Квадратная правильная призма
Даны: (a = 20) см, полная площадь (P = 1760) см(^2).
- (n = 4).
- Площадь основания квадрата: (S_{\text{осн}} = a^{2} = 20^{2} = 400) см(^2).
- Боковая площадь: (S_{\text{бок}} = 1760 - 2\cdot400 = 960) см(^2).
- Периметр основания: (n a = 4 \cdot 20 = 80) см.
- Высота (боковое ребро):
[ h = \frac{960}{80} = 12\ \text{см}. ]
Ответ: (h = 12) см.
Пример 2. Квадратная правильная призма с другими данными
(a = 5) см, (P = 190) см(^2).
[ S*{\text{осн}} = 5^{2}=25,\qquad S*{\text{бок}} = 190-2\cdot25 = 140,\qquad n a = 4\cdot5 = 20, ]
[ h = \frac{140}{20}=7\ \text{см}. ]
Ответ: (h = 7) см.
Пример 3. Треугольная правильная призма
(n=3), (a = 6) см, полная площадь (P = 200) см(^2).
[ S_{\text{осн}} = \frac{3\cdot6^{2}}{4\tan\frac{\pi}{3}} = \frac{108}{4\sqrt{3}} \approx 15.59\ \text{см}^{2}, ]
[ S_{\text{бок}} = 200 - 2\cdot15.59 \approx 168.82\ \text{см}^{2}, ]
[ n a = 3\cdot6 = 18\ \text{см}, \qquad h = \frac{168.82}{18} \approx 9.38\ \text{см}. ]
Сводка формул
- Площадь основания правильного (n)-угольника:
[ S_{\text{осн}} = \frac{n a^{2}}{4 \tan\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}. ] - Площадь полной поверхности призмы:
[ P = 2 S_{\text{осн}} + n a h. ] - Боковое ребро (высота):
[ h = \frac{P - 2 S_{\text{осн}}}{n a}. ]
Часто встречающиеся ошибки
- Смешивание боковой и полной площади. При вычислении (h) необходимо вычитать удвоенную площадь основания, а не использовать только боковую часть.
- Неправильный периметр. В знаменателе формулы стоит (n a) (периметр основания), а не просто (a).
- Игнорирование знака. Если после вычитания получается отрицательная величина, значит вводные данные противоречат геометрическим ограничениям.
- Неправильный угол в формуле площади основания. Для правильного многоугольника в знаменателе стоит (\tan(\pi/n)), а не (\tan(2\pi/n)) и т.п.
Эти рекомендации помогут быстро и без ошибок находить боковое ребро любой правильной призмы, зная лишь сторону её основания и площадь полной поверхности.