Углы при основании равнобедренного треугольника

Основное свойство: почему углы при основании равны

В равнобедренном треугольнике две стороны равны — их называют боковыми, а третья сторона — основанием. Из этого следует ключевая теорема планиметрии: углы, лежащие против равных боковых сторон, тоже равны. Эти углы и называют углами при основании.

Второй факт, без которого расчёт невозможен, — сумма всех углов любого треугольника равна 180°. Комбинация двух этих правил решает почти любую задачу на равнобедренный треугольник, если известен хотя бы один угол.

Обозначим:

• γ — угол при вершине (между боковыми сторонами, противоположен основанию);
• α — угол при основании (их два, и они равны).

Тогда справедливо равенство:

γ + 2α = 180°

Отсюда выводятся две рабочие формулы.

Если известен угол при вершине

Когда дан угол γ между боковыми сторонами, каждый угол при основании находится по формуле:

α = (180° − γ) / 2

Пример. Угол при вершине равен 76°.

α = (180° − 76°) / 2 = 104° / 2 = 52°

Оба угла при основании равны по 52°. Проверка: 76° + 52° + 52° = 180° — верно.

Если в задаче предложены варианты ответа, важно подставить полученное число в исходную сумму углов, а не выбирать «похожий» вариант — иногда среди предложенных ответов правильного просто нет, и нужно указать это явно.

Если известен один из углов при основании

Обратная ситуация: дан угол α при основании, нужно найти угол при вершине γ и второй угол при основании (он равен первому автоматически).

γ = 180° − 2α

Пример. Угол при основании равен 69°.

γ = 180° − 2 × 69° = 180° − 138° = 42°

Второй угол при основании также равен 69°. Сумма: 69° + 69° + 42° = 180°.

Если известны только длины сторон

Когда углы не даны, а известны длины боковых сторон a и основания b, применяется теорема косинусов. Для равнобедренного треугольника формулы упрощаются, потому что боковые стороны одинаковы.

Угол при основании (α):

cos α = b / (2a) → α = arccos(b / (2a))

Угол при вершине (γ):

cos γ = (2a² − b²) / (2a²) → γ = arccos((2a² − b²) / (2a²))

Второй угол при основании равен первому — отдельно его вычислять не нужно.

Пример. Боковая сторона a = 10 см, основание b = 12 см.

cos α = 12 / (2 × 10) = 12/20 = 0,6 → α = arccos(0,6) ≈ 53,13°

Проверим через угол при вершине: cos γ = (2×100 − 144) / 200 = 56/200 = 0,28 → γ ≈ 73,74°

Сумма: 53,13° × 2 + 73,74° ≈ 180° — расчёт верен.

Если известна высота, проведённая к основанию

Высота к основанию равнобедренного треугольника совпадает с медианой и биссектрисой угла при вершине — она делит фигуру на два равных прямоугольных треугольника. Это удобно для расчёта через тангенс.

Пусть h — высота, b — основание. Тогда катеты прямоугольного треугольника равны h и b/2, а угол при основании α находится так:

tg α = 2h / b → α = arctan(2h / b)

Угол при вершине находим по уже известной формуле: γ = 180° − 2α.

Пример. Высота h = 8 см, основание b = 12 см.

α = arctan(2×8 / 12) = arctan(1,333…) ≈ 53,13°

γ = 180° − 2 × 53,13° ≈ 73,74°

Результат совпал с примером выше, потому что стороны треугольника фактически те же — это удобный способ перепроверки решения.

Частые ошибки при решении

• Путают угол при вершине с углом при основании. Перед расчётом всегда фиксируйте на чертеже, какая сторона напротив какого угла.
• Забывают, что углов при основании два. В ответе нужно указывать оба значения, даже если по условию они одинаковы.
• Не проверяют сумму углов. После вычислений полезно сложить все три угла — если получилось не 180°, где-то ошибка.
• Считают, что угол при основании может быть тупым. Это невозможно: два тупых угла в сумме уже превысят 180°, значит углы при основании — всегда острые.
• Путают основание с боковой стороной при подстановке в формулы теоремы косинусов — это меняет результат кардинально.

Краткая таблица формул

Любую из этих формул легко проверить через основной закон — сумму углов треугольника, равную 180°. Если после подстановки чисел равенство не выполняется, значит в исходных данных задачи допущена ошибка или она составлена некорректно.