Как найти гипотенузу по двум катетам

В геометрии нахождение неизвестных сторон прямоугольного треугольника — одна из базовых и наиболее часто встречающихся задач. В зависимости от условий задачи под фразой «катеты прямоугольного треугольника равны…» может подразумеваться два сценария:

1. Заданы конкретные числовые значения двух катетов (например, катеты равны $8$ и $15$).
2. Катеты равны между собой ($a = b$), то есть треугольник является равнобедренным прямоугольным.

Ниже подробно разобраны оба случая, приведены универсальные формулы, наглядные примеры и готовые таблицы Пифагоровых троек.

Формула расчета гипотенузы по двум катетам

В любом прямоугольном треугольнике сторона, лежащая напротив прямого угла (90°), называется гипотенузой, а две другие стороны, образующие прямой угол, — катетами.

Главный математический закон, связывающий эти стороны, — теорема Пифагора: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Математическая запись теоремы:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Чтобы найти саму гипотенузу $c$, необходимо извлечь квадратный корень из суммы квадратов катетов $a$ и $b$:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Пошаговый алгоритм решения

1. Возведите в квадрат длину первого катета ($a^2$).
2. Возведите в квадрат длину второго катета ($b^2$).
3. Сложите полученные значения ($a^2 + b^2$).
4. Извлеките квадратный корень из суммы.

Частный случай: катеты равны между собой ($a = b$)

Если катеты прямоугольного треугольника равны друг другу, такой треугольник называется равнобедренным прямоугольным. Его острые углы всегда равны $45^\circ$.

Для такого треугольника классическая формула Пифагора упрощается:

$$c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$

Формула: Если катеты равны $a$, то гипотенуза равна $a\sqrt{2}$.

Пример:

Пусть оба катета прямоугольного треугольника равны $6$ см.

• По упрощенной формуле: $c = 6\sqrt{2} \approx 6 \times 1{,}4142 = 8{,}485$ см.
• Точный ответ в школьных задачах записывается в виде иррационального числа: $6\sqrt{2}$.

Разбор типовых задач ОГЭ по математике

В экзаменационных билетах ОГЭ (задание №15) и ЕГЭ часто встречаются стандартные текстовые формулировки вида: «Катеты прямоугольного треугольника равны X и Y. Найдите гипотенузу этого треугольника».

Рассмотрим решения наиболее популярных вариантов этой задачи.

Задача 1. Катеты равны 8 и 15

• Дано: $a = 8$, $b = 15$.
• Найти: $c$.
• Решение:
  1. $a^2 = 8^2 = 64$
  2. $b^2 = 15^2 = 225$
  3. $a^2 + b^2 = 64 + 225 = 289$
  4. $c = \sqrt{289} = 17$
• Ответ: 17

Задача 2. Катеты равны 12 и 5

• Дано: $a = 12$, $b = 5$.
• Найти: $c$.
• Решение:
  1. $a^2 + b^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$
  2. $c = \sqrt{169} = 13$
• Ответ: 13

Задача 3. Катеты равны 9 и 12

• Дано: $a = 9$, $b = 12$.
• Найти: $c$.
• Решение:
  1. $a^2 + b^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
  2. $c = \sqrt{225} = 15$
• Ответ: 15

Задача 4. Катеты равны 16 и 30

• Дано: $a = 16$, $b = 30$.
• Найти: $c$.
• Решение:
  1. $a^2 + b^2 = 16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156$
  2. $c = \sqrt{1156} = 34$
• Ответ: 34

Таблица популярных Пифагоровых троек

Пифагоровы тройки — это наборы из трех натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению $a^2 + b^2 = c^2$. Знание этих сочетаний позволяет решать большинство школьных задач устно, без письменных вычислений.

Распространенные ошибки при вычислении

Чтобы избежать обидных ошибок на экзамене или в строительных расчетах, помните о следующих нюансах:

1. Сложение до возведения в квадрат. Ошибка: $c = \sqrt{a + b}$. Помните: сначала каждый катет возводится в квадрат отдельности, и только потом результаты суммируются.
2. Забытый квадратный корень. Часто после сложения квадратов ($64 + 225 = 289$) значение $289$ ошибочно записывают в ответ. Это квадрат гипотенузы, а не сама сторона. Не забывайте извлекать корень.
3. Применение формулы не к тому треугольнику. Теорема Пифагора применима строго для прямоугольных треугольников. Если прямой угол отсутствует, формула не сработает.

Практическое применение

Расчет гипотенузы по катетам нужен не только для сдачи экзаменов:

• В строительстве и ремонте: Проверка прямоугольности стен и фундамента (метод «3–4–5»). Если отмерить по стенам от угла 3 и 4 метра, диагональ между точками должна строго равняться 5 метрам.
• В разметке участков: Расчет длины диагоналей прямоугольных конструкций (заборов, фундаментов, перекрытий).
• В навигации и компьютерной графике: Определение кратчайшего расстояния между двумя точками на координатной плоскости.