Калькулятор углов треугольника
Сумма внутренних углов любого треугольника всегда равна 180°. Это фундаментальное правило евклидовой геометрии позволяет находить неизвестные углы через известные стороны или другие углы. В зависимости от исходных данных используются разные методы: от простого вычитания из 180° до теорем косинусов и синусов.
Как найти угол треугольника по трём сторонам?
Если известны длины всех сторон (обозначим их a, b, c), применяют теорему косинусов:
$$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$$$\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$$$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$Искомый угол находят через арккосинус (arccos) полученного значения.
Пример расчёта: Стороны треугольника равны 5 см, 6 см и 7 см. Найдём угол γ против стороны c = 7 см:
$$\cos(\gamma) = \frac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{25 + 36 - 49}{60} = \frac{12}{60} = 0{,}2$$$$\gamma = \arccos(0{,}2) \approx 78{,}46°$$Аналогично рассчитываются два оставшихся угла. Проверка: 78,46° + 57,12° + 44,42° ≈ 180°.
Как найти угол, если известны два угла?
Самый простой случай. Из 180° вычитают сумму известных углов:
$$\gamma = 180° - \alpha - \beta$$Например, при углах 60° и 80° третий составит: 180° − 60° − 80° = 40°.
Как найти углы по двум сторонам и углу между ними?
При известных сторонах a, b и угле γ между ними сначала находят третью сторону c по теореме косинусов:
$$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)}$$Затем к уже известному углу γ добавляют вычисленные по теореме косинусов углы α и β. Альтернативный путь – теорема синусов для нахождения второго угла, а третий – вычитанием из 180°.
Теорема синусов для расчёта углов
Если известны сторона a и два прилежащих угла β и γ, или соотношение сторон с одним углом:
$$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} = 2R$$где R – радиус описанной окружности.
Отсюда следует пропорция для нахождения угла:
$$\sin(\alpha) = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{b}$$Важно: если через арксинус получается острый угол, но по рисунку треугольник тупоугольный, выберите дополнительный угол (180° − α), так как sin(α) = sin(180° − α).
Особенности расчёта углов в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике один угол уже известен – 90°. Достаточно найти один из острых углов, второй определяется вычитанием из 90°.
Для острых углов используются тригонометрические функции через катеты (a, b) и гипотенузу (c):
$$\sin(\alpha) = \frac{a}{c}, \quad \cos(\alpha) = \frac{b}{c}, \quad \tg(\alpha) = \frac{a}{b}$$Например, при катетах 3 см и 4 см угол против катета 3 см равен arctg(3/4) ≈ 36,87°.
Калькулятор выше автоматизирует все перечисленные вычисления. Выберите способ ввода данных (по сторонам, углам или смешанно), и инструмент выдаст точные значения всех углов в градусах, минутах и секундах, а также радианах, если требуется.