Калькулятор треугольника

Длину стропильной ноги, угол между скатами крыши или высоту недоступной горы можно найти по двум-трём известным параметрам треугольника. Калькулятор треугольника делает это автоматически: введите известные стороны и углы, и он найдёт все остальные элементы фигуры – площадь, периметр, медианы, высоты, биссектрисы, радиусы вписанной и описанной окружностей.

Какие бывают треугольники

По соотношению сторон выделяют три основных вида:

• Равносторонний – все три стороны равны, каждый угол равен 60°.
• Равнобедренный – две стороны равны (боковые), углы при основании также равны.
• Разносторонний – все стороны разной длины, все углы разные.

По величине углов:

• Прямоугольный – один угол равен 90°, напротив него лежит гипотенуза – самая длинная сторона.
• Остроугольный – все углы меньше 90°.
• Тупоугольный – один угол больше 90°.

Любой треугольник однозначно задаётся тремя независимыми параметрами: тремя сторонами, двумя сторонами и углом между ними, стороной и двумя прилежащими углами. Зная эти данные, можно найти все остальные элементы фигуры.

Какие параметры рассчитывает калькулятор

По введённым данным калькулятор вычисляет:

• Стороны a, b, c и их соотношения.
• Углы α, β, γ в градусах или радианах.
• Периметр P = a + b + c.
• Площадь S – несколькими способами в зависимости от исходных данных.
• Медианы mₐ, m_b, m_c – отрезки от вершины к середине противоположной стороны.
• Высоты hₐ, h_b, h_c – перпендикуляры из вершины на противоположную сторону.
• Биссектрисы lₐ, l_b, l_c – делят углы при вершинах пополам.
• Радиус вписанной окружности r = S / p, где p – полупериметр.
• Радиус описанной окружности R = a·b·c / (4·S).

Основные формулы для расчёта треугольника

Теорема синусов. Стороны пропорциональны синусам противолежащих углов:

a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R

Она связывает стороны с углами и радиусом описанной окружности.

Теорема косинусов. Обобщение теоремы Пифагора на произвольный треугольник:

c² = a² + b² − 2ab·cos γ

Если γ = 90°, cos γ = 0 и формула превращается в c² = a² + b².

Площадь через сторону и высоту:

S = ½ · a · hₐ

Площадь через две стороны и угол между ними:

S = ½ · a · b · sin γ

Формула Герона для трёх известных сторон:

S = √(p · (p − a) · (p − b) · (p − c)), где p = (a + b + c) / 2

Медиана к стороне a:

mₐ = ½ · √(2b² + 2c² − a²)

Биссектриса к стороне a:

lₐ = 2 · b · c · cos(α / 2) / (b + c)

Пример расчёта

Дан треугольник со сторонами a = 5, b = 7, c = 9. Найдём площадь по формуле Герона:

1. Полупериметр: p = (5 + 7 + 9) / 2 = 10,5
2. Подкоренное выражение: 10,5 · 5,5 · 3,5 · 1,5 = 303,1875
3. S = √303,1875 ≈ 17,41

Углы через теорему косинусов:

• cos α = (b² + c² − a²) / (2bc) = (49 + 81 − 25) / 126 ≈ 0,833 → α ≈ 33,56°
• cos β = (a² + c² − b²) / (2ac) = (25 + 81 − 49) / 90 ≈ 0,633 → β ≈ 50,70°
• γ = 180° − α − β ≈ 95,74°

Радиус описанной окружности: R = 5·7·9 / (4·17,41) ≈ 4,52.

Где пригодится расчёт треугольника

• Строительство и кровля. Скатные крыши, стропильные системы, фасады сложной формы – везде нужно знать длины сторон и углы.
• Геодезия и землеустройство. Измерение расстояний через непроходимые участки методом триангуляции.
• Навигация и картография. Определение положения объекта по двум известным точкам и углам.
• Чертёж и дизайн. Построение треугольных деталей, выкроек, элементов интерьера.
• Школьные задачи. Контрольные работы, ЕГЭ, олимпиады – расчёт треугольника входит в программу с 7 класса.

Как пользоваться калькулятором выше

1. Выберите, что вам известно: три стороны, две стороны и угол, сторона и два угла.
2. Введите известные значения. Углы можно задавать в градусах или радианах – переключатель рядом с полем ввода.
3. Нажмите «Рассчитать». Калькулятор выдаст все неизвестные параметры: стороны, углы, периметр, площадь, медианы, высоты, биссектрисы, радиусы вписанной и описанной окружностей.

Если введённые данные противоречивы (например, сумма двух сторон меньше третьей), калькулятор сообщит об ошибке: такой набор сторон не образует треугольника.

Частые ошибки при ручном расчёте

• Неправильный выбор формулы площади. Для трёх сторон используйте формулу Герона, а не ½·a·h, если высоту нельзя измерить напрямую.
• Путаница между градусами и радианами. Тригонометрические функции на калькуляторах по умолчанию часто работают в радианах.
• Округление промежуточных значений. Округлять нужно только финальный результат, иначе ошибка накапливается по цепочке вычислений.
• Игнорирование неоднозначности SSA. По двум сторонам и углу не между ними иногда существует два разных треугольника – это нужно учитывать.