Калькулятор прямоугольного треугольника

7 июня 2026 г.

Чертёж не сходится, а в задаче дано только два числа – катет и угол. Чтобы достроить прямоугольный треугольник, нужно найти остальные стороны, площадь и периметр. Калькулятор прямоугольного треугольника делает это по двум любым известным величинам и показывает ход решения с формулами.

Калькулятор принимает любые два параметра: длины сторон (катеты a, b и гипотенузу c), острые углы (α и β), площадь, периметр или высоту к гипотенузе. По ним вычисляются все остальные значения, а также радиусы вписанной и описанной окружностей. Углы можно задавать в градусах или радианах; острый угол должен быть меньше 90°.

Что такое прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол равен 90°. Сторона напротив прямого угла называется гипотенузой (c) – она всегда самая длинная. Две стороны, образующие прямой угол, – катеты (a и b).

Поскольку сумма углов любого треугольника равна 180°, два острых угла прямоугольного треугольника в сумме дают 90°:

$$\alpha + \beta = 90°$$

Это значит, что знание одного острого угла сразу даёт второй.

Сколько данных нужно, чтобы решить треугольник

Чтобы однозначно определить все параметры, нужно два известных значения, и хотя бы одно из них – линейное (сторона, площадь, периметр или высота).

Два катета – классический случай.
Катет и гипотенуза.
Катет и острый угол.
Гипотенуза и острый угол.
Сторона и площадь (или периметр).

Пара из двух острых углов задачу не решает: углы определяют только форму, но не масштаб. Нужна хотя бы одна длина.

Формулы прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора

Связывает три стороны:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Отсюда выводятся недостающие стороны:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad a = \sqrt{c^2 - b^2}, \quad b = \sqrt{c^2 - a^2}$$

Площадь и периметр

Площадь считается через катеты – они служат основанием и высотой:

$$S = \frac{a \cdot b}{2}$$

Периметр – сумма всех сторон:

$$P = a + b + c$$

Острые углы

Углы находят через тригонометрические функции. Для угла α сторона a – противолежащий катет, b – прилежащий:

$$\sin\alpha = \frac{a}{c}, \quad \cos\alpha = \frac{b}{c}, \quad \tg\alpha = \frac{a}{b}$$

Чтобы получить сам угол, применяют обратные функции:

$$\alpha = \arcsin\frac{a}{c} = \arctg\frac{a}{b}, \quad \beta = 90° - \alpha$$

Высота к гипотенузе и окружности

Высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу:

$$h = \frac{a \cdot b}{c}$$

Радиус вписанной и радиус описанной окружностей:

$$r = \frac{a + b - c}{2}, \quad R = \frac{c}{2}$$

Гипотенуза совпадает с диаметром описанной окружности – поэтому R равен её половине.

Как решить прямоугольный треугольник: пример

Даны катеты a = 3 и b = 4. Найдём всё остальное.

1. Гипотенуза по теореме Пифагора:

$$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

2. Острые углы:

$$\alpha = \arcsin\frac{3}{5} = \arcsin 0{,}6 \approx 36{,}87°$$$$\beta = 90° - 36{,}87° = 53{,}13°$$

3. Площадь:

$$S = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6$$

4. Периметр:

$$P = 3 + 4 + 5 = 12$$

5. Высота к гипотенузе:

$$h = \frac{3 \cdot 4}{5} = 2{,}4$$

6. Радиусы окружностей:

$$r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = 1, \quad R = \frac{5}{2} = 2{,}5$$

Это знаменитый «египетский треугольник» со сторонами 3-4-5 – простейший набор целых чисел, удовлетворяющих теореме Пифагора.

Как найти угол по сторонам

Когда известны две стороны, выбор функции зависит от того, какие именно стороны даны:

катет и гипотенуза → arcsin или arccos;
два катета → arctg.

Например, при катете a = 5 и гипотенузе c = 13:

$$\alpha = \arcsin\frac{5}{13} \approx 22{,}62°, \quad \beta \approx 67{,}38°$$

Результат калькулятор выдаёт сразу в градусах и радианах, чтобы подходил и для школьных, и для инженерных задач.

Частые ошибки

Путают катет и гипотенузу. Гипотенуза всегда напротив прямого угла и длиннее катетов. Если в ответе катет больше гипотенузы – где-то ошибка.
Площадь через гипотенузу. Основание и высота для формулы S = ab/2 – это катеты, а не гипотенуза.
Острый угол ≥ 90°. В прямоугольном треугольнике каждый из двух непрямых углов строго меньше 90°.
Нарушение неравенства треугольника. Любая сторона меньше суммы двух других; для гипотенузы это выполняется автоматически по теореме Пифагора.
Высота больше катета. Высота к гипотенузе не может превышать ни один из катетов – иначе исходные данные несовместимы.

Материал носит справочный характер; для контрольных и проектных расчётов перепроверьте результат вручную.

Часто задаваемые вопросы

Сколько значений нужно ввести, чтобы решить треугольник?

Достаточно двух известных величин, если хотя бы одна из них – длина стороны. Двух углов недостаточно: один из них всегда 90°, а пара острых углов задаёт лишь форму, но не размер треугольника.

Как найти гипотенузу, зная катеты?

По теореме Пифагора: c = √(a² + b²). Например, при катетах 6 и 8 гипотенуза равна √(36 + 64) = √100 = 10.

Чем катет отличается от гипотенузы?

Катеты – две стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза лежит напротив прямого угла и всегда длиннее любого катета. Площадь считается через катеты, а гипотенуза – через теорему Пифагора.

Можно ли задавать углы в радианах?

Да. Углы вводятся в градусах или радианах. Острый угол должен быть строго меньше 90° (π/2), иначе треугольник перестаёт быть прямоугольным.

Как найти острый угол, если известны две стороны?

Через обратные тригонометрические функции. Например, α = arcsin(a/c) или α = arctg(a/b). Второй острый угол находится как 90° − α.

Чему равен радиус описанной окружности прямоугольного треугольника?

Половине гипотенузы: R = c/2. Это следствие того, что гипотенуза является диаметром описанной окружности, а её центр лежит на середине гипотенузы.