Калькулятор объема цилиндра

Как пользоваться калькулятором

Введите высоту цилиндра и один из параметров основания – радиус, диаметр или площадь. Калькулятор автоматически вычислит объём и покажет результат в кубических сантиметрах, литрах и кубических метрах.

Что такое цилиндр

Цилиндр – тело вращения, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. У него два плоских параллельных основания (круги) и боковая поверхность, соединяющая их. Основные элементы:

• r – радиус основания;
• d – диаметр основания (d = 2r);
• h – высота (расстояние между основаниями);
• S – площадь основания (S = πr²).

Цилиндры окружают нас повсюду: стакан, труба, бочка, поршень, свеча, рулон бумаги – всё это тела с круглым сечением постоянного размера по всей высоте.

Формула объёма цилиндра

Через радиус и высоту

$$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$$

Это базовая формула. Объём цилиндра равен площади круглого основания, умноженной на высоту. Поскольку площадь круга S = πr², вся формула записывается компактно.

Через диаметр и высоту

$$V = \frac{\pi \cdot d^2 \cdot h}{4}$$

Эта форма удобна, когда известен именно диаметр – например, на чертежах, в маркировке труб и сортаментах. Достаточно подставить d вместо 2r и упростить выражение.

Через площадь основания и высоту

$$V = S \cdot h$$

Самая общая запись. Подходит, когда площадь основания уже известна или основание – не круг, а произвольная фигура. Эта же формула работает для призмы.

Примеры расчёта

Пример 1: стандартная задача

Дано: цилиндр с радиусом 5 см и высотой 12 см.

Решение:

V = π · 5² · 12 = π · 25 · 12 = 300π ≈ 942,48 см³ ≈ 0,942 л

Это примерно объём стакана воды.

Пример 2: через диаметр

Дано: труба внутренним диаметром 100 мм (10 см) и длиной 2 м (200 см).

Решение:

V = π · 10² · 200 / 4 = π · 100 · 200 / 4 = 5000π ≈ 15 708 см³ ≈ 15,7 л

Это вместимость метрового участка водопроводной трубы.

Пример 3: обратная задача

Дано: нужно изготовить бак на 200 литров. Высота ограничена 80 см. Какой потребуется радиус?

Решение: Переводим 200 л = 200 000 см³.

r = √(V / (π · h)) = √(200 000 / (π · 80)) = √(795,77) ≈ 28,2 см

Диаметр бака – около 56,4 см.

Объём полого цилиндра (трубы)

Полый цилиндр – это цилиндр с отверстием внутри. Его объём материала (объём стенки) равен разности объёмов наружного и внутреннего цилиндров:

$$V = \pi \cdot h \cdot (R^2 - r^2)$$

Здесь R – наружный радиус, r – внутренний. Эту же формулу переписывают через наружный диаметр D и толщину стенки t:

$$V = \pi \cdot h \cdot t \cdot (D - t)$$

Пример: труба с наружным диаметром 57 мм и стенкой 3,5 мм, длина 1 м.

V = π · 1 · 0,0035 · (0,057 − 0,0035) = π · 0,0035 · 0,0535 ≈ 0,000588 м³

Масса погонного метра (сталь, ρ ≈ 7850 кг/м³): 0,000588 · 7850 ≈ 4,62 кг/м – совпадает с табличным значением.

Таблица типовых объёмов

Значения округлены до тысячных. Их удобно использовать для быстрой проверки калькулятора или прикидки размеров ёмкости.

Практические применения

• Строительство: расчёт бетона для заливки цилиндрической опалубки или сваи;
• Водоснабжение: вместимость накопительного бака, объём воды в трубе;
• Промышленность: вместимость резервуаров, объём материала в цилиндрической заготовке;
• Кулинария: объём кастрюли, банки, формы для выпечки;
• Наука: объём поршней, колб, пробирок при лабораторных расчётах.

Частые ошибки

1. Смешение диаметра и радиуса. Если на чертеже указано 200 мм – это чаще диаметр, а не радиус. Подставляя его как r, вы получите результат в 4 раза больше реального.

2. Несовпадение единиц. Если радиус дан в сантиметрах, а высота в метрах, результат будет некорректным. Приведите все величины к одной единице до подстановки в формулу.

3. Забытое π. В спешке π не умножается, и результат занижается в 3,14 раза – ошибка почти втрое.

4. Объём ≠ площадь поверхности. Это разные величины с разными формулами и разными единицами (см³ против см²). Не путайте их при решении задач.

Единицы измерения и переводы

Главное правило: если результат нужен в литрах, измеряйте радиус и высоту в дециметрах (1 дм = 10 см). Тогда πr²h сразу даст ответ в литрах, поскольку 1 дм³ = 1 л.