МатематикаАлгебра

Калькулятор интегралов онлайн

Бесплатный калькулятор интегралов онлайн — вычисляет определённые и неопределённые интегралы с подробным пошаговым решением. Введите функцию и получите ответ.

Тип интеграла
Поддерживаемые операции: +, -, *, /, ^; функции: sin, cos, tan, exp, ln, sqrt. Переменная: x.

Похожие калькуляторы и статьи

Все калькуляторы раздела «Алгебра» (30) →

Калькулятор интегралов — как пользоваться

Математический анализ невозможно представить без операции интегрирования. Инженеры, физики, экономисты и студенты ежедневно сталкиваются с задачей нахождения первообразной или вычисления площади под кривой. Калькулятор интегралов онлайн решает эту задачу за секунды — от простых polynomialных функций до сложных выражений с тригонометрией и логарифмами.

Сервис работает с двумя типами интегралов:

  • Неопределённые — находит общий вид первообразной ∫f(x)dx
  • Определённые — вычисляет значение на отрезке [a, b]

Интерфейс калькулятора

Введите подынтегральное выражение в поле ввода. Для определённого интеграла дополнительно укажите верхний и нижний пределы интегрирования. Нажмите кнопку расчёта — система мгновенно выдаст результат.

Основные методы интегрирования

Математики разработали несколько универсальных приёмов, которые позволяют свести сложный интеграл к табличной форме.

Метод замены переменной

Суть подхода — ввести новую переменную t, чтобы упростить подынтегральное выражение. Формула замены:

∫f(g(x))⋅g′(x) dx=∫f(t) dt, где t=g(x)\int f(g(x)) \cdot g'(x)\, dx = \int f(t)\, dt, \text{ где } t = g(x)

После нахождения интеграла по t необходимо вернуться к исходной переменной x.

Интегрирование по частям

Применяется для произведений функций разных типов (например, x·sin x). Формула:

∫u dv=u⋅v−∫v du\int u\, dv = u \cdot v - \int v\, du

Выбор u и dv определяется правилом: за u берут функцию, которая упрощается при дифференцировании.

Разложение рациональных дробей

Любую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших:

P(x)Q(x)=Ax−a+Bx+Cx2+bx+c+…\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{x-a} + \frac{Bx+C}{x^2+bx+c} + \ldots

После разложения интеграл сводится к сумме табличных.

Таблица основных интегралов

ФункцияИнтеграл
xⁿxⁿ⁺¹/(n+1) + C, n ≠ −1
1/xln
eˣeˣ + C
sin x−cos x + C
cos xsin x + C
1/cos²xtg x + C
1/sin²x−ctg x + C

Примеры вычислений

Пример 1: Неопределённый интеграл

Вычислим ∫(3x² + 2x − 1)dx.

Калькулятор применяет правило суммы:

∫(3x2+2x−1) dx=3∫x2 dx+2∫x dx−∫1 dx\int (3x^2 + 2x - 1)\, dx = 3\int x^2\, dx + 2\int x\, dx - \int 1\, dx

Результат: x³ + x² − x + C.

Пример 2: Определённый интеграл

Вычислим ∫₀² x²dx.

По формуле Ньютона-Лейбница:

∫02x2 dx=[x33]02=83−0=83\int_0^2 x^2\, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}

Это значение равно площади криволинейной трапеции под параболой y=x² от 0 до 2.

Пример 3: Интегрирование по частям

Найдём ∫x·eˣdx.

Примем u = x, dv = eˣdx. Тогда du = dx, v = eˣ.

∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex+C=ex(x−1)+C\int x e^x\, dx = x e^x - \int e^x\, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C

Пример 4: Замена переменной

Вычислим ∫2x·cos(x²)dx.

Замена: t = x², dt = 2x dx.

∫2xcos⁡(x2) dx=∫cos⁡t dt=sin⁡t+C=sin⁡(x2)+C\int 2x \cos(x^2)\, dx = \int \cos t\, dt = \sin t + C = \sin(x^2) + C

Формула Ньютона — Лейбница

Ключевая теорема математического анализа связывает определённый и неопределённый интегралы:

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)

где F(x) — любая первообразная f(x). Именно эта формула позволяет вычислять площади, объёмы, работу и другие физические величины.

Несобственные интегралы

Когда пределы интегрирования стремятся к бесконечности или подынтегральная функция имеет разрыв, говорят о несобственных интегралах. Калькулятор корректно обрабатывает записи с символом ∞ (infinity), определяя сходимость или расходимость результата.

Практическое применение

Интегралы повсеместно используются в науке и технике:

  • Физика: вычисление работы (A = ∫F dx), центра масс, момента инерции
  • Статистика: функция распределения, плотность вероятности
  • Экономика: потребительский излишек, объём выпуска при переменной производительности
  • Геометрия: площади криволинейных фигур, объёмы тел вращения

Рекомендации по использованию

  1. Проверяйте результат дифференцированием — производная первообразной должна дать исходную функцию.
  2. Для сложных выражений разбивайте задачу на части и решайте поэтапно.
  3. Не забывайте константу интегрирования C в неопределённых интегралах.
  4. Используйте скобки для однозначной интерпретации выражений.

Калькулятор экономит время на рутинных вычислениях и позволяет сосредоточиться на понимании математических концепций, а не на механической работе с формулами.

Часто задаваемые вопросы

Что такое неопределённый интеграл?
Неопределённый интеграл — это множество всех первообразных функции f(x). Обозначается ∫f(x)dx и отличается от определённого наличием произвольной постоянной C.
Чем отличается определённый интеграл от неопределённого?
Определённый интеграл вычисляется в заданных пределах [a, b] и даёт числовое значение (площадь). Неопределённый — возвращает функцию (семейство первообразных).
Какие методы интегрирования поддерживает калькулятор?
Калькулятор применяет замену переменной, интегрирование по частям, разложение на простейшие дроби, тригонометрические подстановки и табличные формулы.
Как записать степень или корень в калькуляторе?
Используйте x^2 для степени, sqrt(x) или x^(1/2) для корня. Натуральный логарифм — ln(x), экспонента — exp(x) или e^x.
Можно ли вычислить несобственный интеграл с бесконечными пределами?
Да, введите Infinity или inf для обозначения бесконечности. Калькулятор корректно обработает пределы интегрирования.
Показывает ли калькулятор ход решения?
Да, сервис отображает пошаговое решение с применёнными методами интегрирования, что полезно для обучения и проверки.