Калькулятор дуги
Рассчитайте параметры дуги окружности онлайн: длину дуги, радиус, хорду, стрелку прогиба и центральный угол по известным величинам.
Для арки над дверным проёмом нужна точная длина заготовки, а для дорожного поворота – радиус кривизны. Калькулятор дуги решает обе задачи: по любым двум известным параметрам он рассчитывает остальные – длину дуги, радиус, хорду, стрелку прогиба и центральный угол.
Основные параметры дуги окружности
Дуга – часть окружности, ограниченная двумя точками. Для полного описания дуги достаточно двух независимых величин из пяти:
| Параметр | Обозначение | Что означает |
|---|---|---|
| Радиус | R | Расстояние от центра окружности до любой точки дуги |
| Центральный угол | α | Угол между двумя радиусами, проведёнными к концам дуги |
| Длина дуги | L | Длина кривой между концами дуги |
| Хорда | c | Прямая, соединяющая концы дуги |
| Стрелка прогиба | h | Расстояние от середины хорды до вершины дуги (сагитта) |
Формулы для расчёта дуги
Длина дуги по радиусу и углу
Базовая формула, из которой выводятся все остальные:
L = π × R × α / 180
где α – центральный угол в градусах. Если угол в радианах:
L = R × α
Хорда по радиусу и углу
c = 2R × sin(α / 2)
Стрелка прогиба по радиусу и углу
h = R × (1 − cos(α / 2))
Радиус по хорде и стрелке
Самая востребованная на практике формула – когда нет данных об угле, а есть только замеры расстояний:
R = c² / (8h) + h / 2
Эта формула получается из теоремы о пересекающихся хордах и справедлива для любого центрального угла.
Центральный угол по радиусу и стрелке
α = 2 × arccos((R − h) / R)
Результат – в радианах. Для перевода в градусы умножьте на 180 / π.
Как найти длину дуги по хорде и высоте?
Это частая задача: вы замерили расстояние между концами дуги (хорду c) и максимальный прогиб (стрелку h), а нужна длина изогнутой заготовки.
Шаг 1. Найдите радиус:
R = c² / (8h) + h / 2
Шаг 2. Найдите центральный угол в радианах:
α = 2 × arccos((R − h) / R)
Шаг 3. Вычислите длину дуги:
L = R × α
Пример расчёта
Арочный проём: хорда c = 2 000 мм, стрелка h = 400 мм.
- R = 2 000² / (8 × 400) + 400 / 2 = 4 000 000 / 3 200 + 200 = 1 250 + 200 = 1 450 мм
- (R − h) / R = (1 450 − 400) / 1 450 = 1 050 / 1 450 ≈ 0,7241
- α = 2 × arccos(0,7241) ≈ 2 × 0,7610 ≈ 1,522 рад (≈ 87,2°)
- L = 1 450 × 1,522 ≈ 2 207 мм
Для заготовки арки понадобится полоса длиной около 2 210 мм с запасом на подрезку.
Приближённая формула (без тригонометрии)
Если калькулятора под рукой нет, можно использовать формулу Гюйгенса:
L ≈ (8b − c) / 3
где b – длина половинной хорды, соединяющей конец дуги с её вершиной:
b = √(h² + (c / 2)²)
Погрешность – менее 0,5% при центральном угле до 90° и до 3,5% при угле, близком к 180°.
Для того же примера: b = √(400² + 1 000²) = √(1 160 000) ≈ 1 077 мм. L ≈ (8 × 1 077 − 2 000) / 3 ≈ 6 616 / 3 ≈ 2 205 мм – разница с точным значением менее 0,1%.
Частные случаи
| Случай | Угол α | Формула длины дуги |
|---|---|---|
| Четверть окружности | 90° | L = πR / 2 ≈ 1,5708R |
| Полуокружность | 180° | L = πR ≈ 3,1416R |
| Полная окружность | 360° | L = 2πR ≈ 6,2832R |
Для полуокружности стрелка равна радиусу (h = R), а хорда – диаметру (c = 2R).
Где применяются расчёты дуги
- Строительство и архитектура – арки, своды, купола, криволинейная кладка, гипсокартонные конструкции.
- Металлообработка – гибка труб, профилей, листового металла. Длина дуги определяет длину заготовки до гибки.
- Дорожное проектирование – радиус горизонтальных кривых дорог, железнодорожных путей.
- Геодезия – расчёт расстояний по поверхности Земли на коротких участках (дуга большого круга).
- Дизайн и графика – построение плавных кривых по опорным точкам.
Калькулятор дуги выше принимает любую пару параметров и мгновенно возвращает остальные три, избавляя от ручного пересчёта через тригонометрические функции.