Калькулятор дуги

Для арки над дверным проёмом нужна точная длина заготовки, а для дорожного поворота – радиус кривизны. Калькулятор дуги решает обе задачи: по любым двум известным параметрам он рассчитывает остальные – длину дуги, радиус, хорду, стрелку прогиба и центральный угол.

Основные параметры дуги окружности

Дуга – часть окружности, ограниченная двумя точками. Для полного описания дуги достаточно двух независимых величин из пяти:

Формулы для расчёта дуги

Длина дуги по радиусу и углу

Базовая формула, из которой выводятся все остальные:

L = π × R × α / 180

где α – центральный угол в градусах. Если угол в радианах:

L = R × α

Хорда по радиусу и углу

c = 2R × sin(α / 2)

Стрелка прогиба по радиусу и углу

h = R × (1 − cos(α / 2))

Радиус по хорде и стрелке

Самая востребованная на практике формула – когда нет данных об угле, а есть только замеры расстояний:

R = c² / (8h) + h / 2

Эта формула получается из теоремы о пересекающихся хордах и справедлива для любого центрального угла.

Центральный угол по радиусу и стрелке

α = 2 × arccos((R − h) / R)

Результат – в радианах. Для перевода в градусы умножьте на 180 / π.

Как найти длину дуги по хорде и высоте?

Это частая задача: вы замерили расстояние между концами дуги (хорду c) и максимальный прогиб (стрелку h), а нужна длина изогнутой заготовки.

Шаг 1. Найдите радиус:

R = c² / (8h) + h / 2

Шаг 2. Найдите центральный угол в радианах:

α = 2 × arccos((R − h) / R)

Шаг 3. Вычислите длину дуги:

L = R × α

Пример расчёта

Арочный проём: хорда c = 2 000 мм, стрелка h = 400 мм.

1. R = 2 000² / (8 × 400) + 400 / 2 = 4 000 000 / 3 200 + 200 = 1 250 + 200 = 1 450 мм
2. (R − h) / R = (1 450 − 400) / 1 450 = 1 050 / 1 450 ≈ 0,7241
3. α = 2 × arccos(0,7241) ≈ 2 × 0,7610 ≈ 1,522 рад (≈ 87,2°)
4. L = 1 450 × 1,522 ≈ 2 207 мм

Для заготовки арки понадобится полоса длиной около 2 210 мм с запасом на подрезку.

Приближённая формула (без тригонометрии)

Если калькулятора под рукой нет, можно использовать формулу Гюйгенса:

L ≈ (8b − c) / 3

где b – длина половинной хорды, соединяющей конец дуги с её вершиной:

b = √(h² + (c / 2)²)

Погрешность – менее 0,5% при центральном угле до 90° и до 3,5% при угле, близком к 180°.

Для того же примера: b = √(400² + 1 000²) = √(1 160 000) ≈ 1 077 мм. L ≈ (8 × 1 077 − 2 000) / 3 ≈ 6 616 / 3 ≈ 2 205 мм – разница с точным значением менее 0,1%.

Частные случаи

Для полуокружности стрелка равна радиусу (h = R), а хорда – диаметру (c = 2R).

Где применяются расчёты дуги

• Строительство и архитектура – арки, своды, купола, криволинейная кладка, гипсокартонные конструкции.
• Металлообработка – гибка труб, профилей, листового металла. Длина дуги определяет длину заготовки до гибки.
• Дорожное проектирование – радиус горизонтальных кривых дорог, железнодорожных путей.
• Геодезия – расчёт расстояний по поверхности Земли на коротких участках (дуга большого круга).
• Дизайн и графика – построение плавных кривых по опорным точкам.

Калькулятор дуги выше принимает любую пару параметров и мгновенно возвращает остальные три, избавляя от ручного пересчёта через тригонометрические функции.