Как рассчитать погрешность

Любое измерение содержит ошибку. Линейка с миллиметровыми делениями не покажет сотые доли, термометр имеет допуск, а весы «плавают» от взвешивания к взвешиванию. Умение рассчитать погрешность – базовый навык в физике, инженерии и лабораторной практике, который позволяет понять, насколько результат измерений близок к реальности.

Что такое погрешность измерения

Погрешность измерения – это отклонение измеренного значения от истинного. Поскольку истинное значение величины обычно неизвестно, на практике отсчитывают отклонение от среднего арифметического нескольких измерений.

Различают два ключевых вида погрешности:

• Абсолютная (Δx) – отклонение в единицах измеряемой величины: 0,5 см, 1,2 с, 0,03 кг.
• Относительная (ε) – то же отклонение, выраженное в процентах от измеренного значения.

Помимо этого, по характеру возникновения погрешности делятся на:

• Систематические – воспроизводятся одинаково при каждом измерении (неправильная калибровка, конструктивный дефект прибора).
• Случайные – меняются от измерения к измерению (внешние условия, неточность отсчёта).
• Грубые (промахи) – результаты, резко отличающиеся от остальных; такие значения отбрасывают.

Абсолютная погрешность: формула

Абсолютная погрешность показывает, насколько измеренное значение отклоняется от истинного:

Δx = |xизм − xист|

На практике истинное значение неизвестно, поэтому используют среднее арифметическое нескольких измерений:

x_ср = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n

После этого абсолютную погрешность находят как полуразмах – половину разности максимального и минимального результатов:

Δx = (x_max − x_min) / 2

Окончательный результат записывают в виде:

x = x_ср ± Δx

Пример

Измерили длину стола 5 раз и получили (в см): 120,3; 120,7; 120,5; 120,1; 120,4.

1. Среднее: x_ср = (120,3 + 120,7 + 120,5 + 120,1 + 120,4) / 5 = 120,4 см
2. Абсолютная погрешность: Δx = (120,7 − 120,1) / 2 = 0,3 см
3. Результат: x = 120,4 ± 0,3 см

Относительная погрешность: формула

Относительная погрешность выражает абсолютную погрешность в процентах от среднего значения:

ε = (Δx / x_ср) × 100%

Вернёмся к примеру выше:

ε = (0,3 / 120,4) × 100% ≈ 0,25%

Относительная погрешность удобна, когда нужно оценить точность разных измерений в единой шкале. Например, ошибка в 1 см при измерении 10 см – это 10%, а при измерении 100 м – всего 0,01%.

Приборная погрешность

Если можно провести только одно измерение, случайную погрешность не рассчитать. В этом случае ориентируются на приборную погрешность – она определяется ценой деления прибора.

Формула:

Δпр = 0,5 × h

где h – наименьшее деление шкалы.

Примеры:

Приборная погрешность – это систематическая составляющая, которая всегда присутствует в результате, независимо от количества измерений.

Средняя погрешность: формула

При многократных измерениях случайная составляющая погрешности уменьшается. Средняя погрешность среднего арифметического рассчитывается по формуле:

Δx_ср = Δx / √n

где n – количество измерений.

Это значит, что чем больше измерений, тем точнее результат. Но выигрыш убывает: при увеличении числа измерений с 4 до 16 точность вырастает всего в 2 раза.

Правила сложения погрешностей при косвенных измерениях

Косвенное измерение – когда искомая величина вычисляется по формуле через прямые измерения других величин. Например, площадь S = a × b измеряется через длину и ширину, а скорость v = s / t – через путь и время.

Для суммы и разности

При вычислении суммы или разности складываются абсолютные погрешности:

Δ(A ± B) = ΔA + ΔB

Пример: стороны прямоугольника a = 5,0 ± 0,1 см и b = 3,0 ± 0,1 см. Периметр P = 2(a + b) = 16,0 см.

ΔP = 2 × (Δa + Δb) = 2 × (0,1 + 0,1) = 0,4 см → P = 16,0 ± 0,4 см

Для произведения и частного

При умножении и делении складываются относительные погрешности:

ε(A × B) = εA + εB

ε(A / B) = εA + εB

Пример: площадь S = a × b = 5,0 × 3,0 = 15,0 см².

ε_a = 0,1 / 5,0 × 100% = 2%, ε_b = 0,1 / 3,0 × 100% = 3,3%

ε_S = 2% + 3,3% = 5,3%

ΔS = 15,0 × 5,3 / 100 = 0,8 см² → S = 15,0 ± 0,8 см²

Для степени и корня

При возведении в степень относительная погрешность умножается на показатель:

ε(Aⁿ) = n × εA

ε(√A) = εA / 2

Пример: сторона куба a = 5,0 ± 0,1 см. Объём V = a³.

ε_V = 3 × (0,1 / 5,0 × 100%) = 6%

ΔV = 125 × 6 / 100 = 7,5 см³ → V = 125 ± 8 см³

Сводная таблица формул погрешностей

Как округлять погрешность

При записи результата действуют два правила:

1. Погрешность округляют вверх до одной-двух значащих цифр. Например, 0,34 → 0,4.
2. Значение величины округляют до того же разряда, что и погрешность. Если Δx = 0,4 (до десятых), то x = 120,4, а не 120,42.

Неправильная запись: 120,42 ± 0,34. Правильная: 120,4 ± 0,3.

Как рассчитать погрешность: пошаговый алгоритм

1. Проведите несколько измерений – минимум 3, лучше 5 и более.
2. Вычислите среднее арифметическое всех результатов.
3. Найдите абсолютную погрешность как полуразмах (разность максимума и минимума, делённая на 2).
4. Рассчитайте относительную погрешность – разделите абсолютную на среднее, умножьте на 100%.
5. Запишите результат в формате x = x_ср ± Δx с учётом правил округления.

Если измерение одно – используйте приборную погрешность (половина цены деления). Если величина вычисляется по формуле – применяйте правила сложения погрешностей для косвенных измерений.