Как посчитать погрешность

Любое измерение даёт значение, отличающееся от истинного: влияют класс точности прибора, температура в помещении, вибрации, навык оператора и несовершенство методики. Чтобы результат имел научный или инженерный смысл, к числу добавляют оценку разброса – погрешность. Запись L = 245,3 ± 0,4 мм говорит: реальная длина с высокой вероятностью лежит в диапазоне от 244,9 до 245,7 мм.

Ниже – алгоритмы расчёта для прямых и косвенных измерений, правила округления и действия с погрешностями в арифметических операциях.

Что такое абсолютная и относительная погрешность

Абсолютная погрешность – отклонение измеренного значения от истинного в тех же единицах:

Δx = |xизм − xист|

Если эталонное значение неизвестно, его заменяют средним арифметическим серии измерений или паспортным номиналом.

Относительная погрешность показывает, какую долю составляет ошибка от самого значения:

δ = (Δx / xист) · 100%

Чем меньше δ, тем выше качество измерения. Относительная погрешность в 1% для длины стола (50 см) и для расстояния между городами (500 км) – это совершенно разные абсолютные отклонения (0,5 см и 5 км), поэтому для сравнения приборов используют именно проценты.

Приведённая погрешность рассчитывается относительно нормирующего значения – обычно верхнего предела шкалы:

γ = (Δx / xн) · 100%

По ней присваивают класс точности прибора. Для вольтметра со шкалой 0–300 В и классом 1,5 абсолютная погрешность во всём диапазоне постоянна: 300 · 1,5 / 100 = 4,5 В.

Как рассчитать погрешность прямых измерений

Прямое измерение – когда величину считывают непосредственно с прибора: длину линейкой, напряжение вольтметром, массу на весах.

Однократное измерение

Погрешность принимают равной:

• половине цены деления – для аналоговых шкал (стрелочные приборы, линейки);
• единице младшего разряда дисплея – для цифровых приборов;
• паспортной точности, если она выше указанных значений.

Пример: длина детали по штангенциркулю с ценой деления 0,05 мм – 24,30 ± 0,05 мм.

Многократное измерение

Если величину измеряют n раз и получают ряд x₁, x₂, …, xₙ, алгоритм такой:

1. Находят среднее: xср = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n.
2. Вычисляют отклонения каждого замера от среднего: Δxᵢ = xᵢ − xср.
3. Находят среднеквадратичное отклонение (СКО) одного измерения: S = √[ Σ(Δxᵢ)² / (n − 1) ].
4. СКО среднего арифметического: Sср = S / √n.
5. Доверительный интервал: Δx = t · Sср, где t – коэффициент Стьюдента для выбранной доверительной вероятности (обычно 0,95) и числа степеней свободы n − 1.

При n = 5 и P = 0,95 коэффициент Стьюдента равен 2,78, при n = 10 – 2,26, при n ≥ 30 стремится к 2.

Пример расчёта

Пять замеров времени падения шарика: 0,43; 0,52; 0,35; 0,29; 0,49 с.

• Среднее: 2,08 / 5 = 0,416 с (округлим до 0,42 с).
• Отклонения: 0,01; 0,10; −0,07; −0,13; 0,07.
• Сумма квадратов: 0,0001 + 0,0100 + 0,0049 + 0,0169 + 0,0049 = 0,0368.
• СКО: S = √(0,0368 / 4) ≈ 0,096 с.
• СКО среднего: Sср = 0,096 / √5 ≈ 0,043 с.
• При t = 2,78: Δt = 2,78 · 0,043 ≈ 0,12 с.

Итоговая запись: t = 0,42 ± 0,12 с при P = 0,95.

Погрешность косвенных измерений

Когда искомую величину вычисляют по формуле через несколько измеренных аргументов y = f(x₁, x₂, …, xₙ), погрешность переносится по правилам дифференцирования.

При независимых случайных ошибках абсолютная погрешность результата:

Δy = √[ (∂f/∂x₁ · Δx₁)² + (∂f/∂x₂ · Δx₂)² + … + (∂f/∂xₙ · Δxₙ)² ]

Для простых функций можно пользоваться готовыми правилами:

Пример. Плотность цилиндра: ρ = m / (π · d² · h / 4). Измерено: m = 125,4 ± 0,1 г, d = 20,0 ± 0,1 мм, h = 50,0 ± 0,1 мм.

Относительные погрешности аргументов:

• δm = 0,1 / 125,4 ≈ 0,08%;
• δd = 0,1 / 20,0 = 0,5%;
• δh = 0,1 / 50,0 = 0,2%.

Поскольку диаметр входит в квадрате, его вклад удваивается: δρ = √(0,08² + (2 · 0,5)² + 0,2²) ≈ √(0,0064 + 1 + 0,04) ≈ 1,02%.

При расчётной плотности 7,96 г/см³ абсолютная погрешность Δρ ≈ 0,08 г/см³. Итог: ρ = 7,96 ± 0,08 г/см³.

Правила округления результата и погрешности

Корректная запись результата подчиняется трём правилам.

1. Сначала округляют погрешность до одной значащей цифры, если она начинается с 3–9, или до двух, если с 1–2. Так 0,27 оставляют как 0,27, а 0,84 превращают в 0,8.
2. Результат округляют до того же десятичного разряда, что и погрешность. Запись 12,453 ± 0,27 ошибочна: правильно 12,45 ± 0,27.
3. Единицы и порядок сохраняются согласованно: (5,2 ± 0,3) · 10³ Па, а не 5200 ± 300 Па, если важна компактность.

При промежуточных вычислениях сохраняют на одну цифру больше, чем требуется в финале, чтобы избежать накопления ошибки округления.

Источники погрешностей на практике

Отклонение результата складывается из нескольких компонент, и каждая требует своего подхода к оценке.

• Инструментальная – определяется классом точности прибора, ценой деления, износом, дрейфом сенсора. Устраняется поверкой и калибровкой.
• Методическая – следствие упрощений в самой методике: неверная схема включения, пренебрежение теплопотерями, идеализация модели. Уменьшается уточнением алгоритма.
• Субъективная – связана с оператором: параллакс при считывании шкалы, время реакции на секундомере, сила затяжки микрометра. Снижается автоматизацией и тренировкой.
• Внешняя – влияние температуры, влажности, вибраций, магнитных полей. Компенсируется термостатированием, экранированием, поправочными коэффициентами.
• Случайная – непредсказуемые флуктуации, которые проявляются разбросом при повторных измерениях. Уменьшается усреднением серии.
• Грубая (промах) – резкий выброс из-за сбоя, описки или поломки. Такие точки исключают после проверки по критерию Шовене, Граббса или «трёх сигм».

Суммарную погрешность находят как корень из суммы квадратов систематической и случайной компонент – при условии их независимости.

Формулы и примеры носят справочный характер. Для ответственных инженерных и метрологических задач используйте действующие ГОСТ и методики, рекомендованные профильными регуляторами.