Как найти высоту, проведенную к гипотенузе

Обозначения: где именно «высота к гипотенузе»

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при C:
$\angle C = 90^\circ$ .

Гипотенуза: $AB = c$
Катеты: $AC = b$ , $BC = a$
Из вершины прямого угла опускаем перпендикуляр на гипотенузу: $CH \perp AB$
Искомая высота: $CH = h$
Гипотенуза делится на отрезки: $AH = p$ , $BH = q$ , и $p+q=c$

Именно длина $h$ и есть «высота, проведенная к гипотенузе».

Самая популярная формула: $h=\dfrac{ab}{c}$

Эта формула работает почти всегда, когда в условии есть катеты (или легко находится гипотенуза).

Ответ:
$h=\frac{ab}{c}$ где $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза.

Почему она верна (коротко)

Площадь прямоугольного треугольника можно записать двумя способами:

S=\frac{ab}{2} \quad \text{и}\quad S=\frac{ch}{2}

Приравниваем: $\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}\Rightarrow ab=ch\Rightarrow h=\frac{ab}{c}$ .

Если известны отрезки на гипотенузе: $h=\sqrt{pq}$

Иногда в задаче даны проекции катетов на гипотенузу, то есть отрезки $AH=p$ и $BH=q$ .

Тогда: $h=\sqrt{pq}=\sqrt{AH\cdot BH}$

Эта формула особенно удобна, потому что напрямую использует разбиение гипотенузы высотой.

Если известны площадь $S$ и гипотенуза $c$

Когда задана площадь треугольника, используйте формулу площади через основание-гипотенузу и высоту: $S=\frac{1}{2}\,c\,h$ Тогда: $h=\frac{2S}{c}$

Через тригонометрию (когда даны угол и гипотенуза)

Пусть известен острый угол $A$ и гипотенуза $c$ . В прямоугольном треугольнике: $a=c\sin A,\quad b=c\cos A$ Подставляем в $h=\dfrac{ab}{c}$ : $h=\frac{(c\sin A)(c\cos A)}{c}=c\sin A\cos A=\frac{c}{2}\sin 2A$ То есть высоту можно найти и без нахождения катетов по углу.

Пошаговые примеры

Пример 1 (через катеты)

Даны катеты $a=6$ и $b=8$ . Найдите высоту $h$ , проведенную к гипотенузе.

Находим гипотенузу: $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10$
Находим высоту: $h=\frac{ab}{c}=\frac{6\cdot 8}{10}=\frac{48}{10}=4{,}8$ Ответ: $h=4{,}8$ .

Пример 2 (через отрезки на гипотенузе)

Высота $CH$ опущена на гипотенузу $AB$ , причем $AH=p=7$ , $BH=q=3$ . Найдите $h$ .

$h=\sqrt{p q}=\sqrt{7\cdot 3}=\sqrt{21}\approx 4{,}58$

Ответ: $h=\sqrt{21}\approx 4{,}58$ .

Частые ошибки при решении

Путаница: высота к гипотенузе — только из вершины прямого угла на сторону $AB$ (гипотенузу).
Ошибка обозначений: в формуле $h=\dfrac{ab}{c}$ $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — именно гипотенуза.
Не проверили, что треугольник действительно прямоугольный ( $\angle C=90^\circ$ ). Для других треугольников эти формулы в таком виде не применяются.
Забыли про округление: в ответах ЕГЭ/ОГЭ обычно просят округлить до нужного знака (смотрите формулировку задания).

Если хотите, пришлите условие задачи (что именно дано: катеты, гипотенуза, отрезки, площадь) — подскажу, какую формулу выбрать и как оформить решение.

Часто задаваемые вопросы

Какую высоту называют проведенной к гипотенузе?

Это высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу. Пусть в треугольнике ABC угол C равен 90°, тогда высота — это отрезок CH, где H лежит на AB. Длина этой высоты и требуется в задачах.

Как найти высоту к гипотенузе, если известны катеты?

Используйте обозначения: a и b — катеты, c — гипотенуза. Сначала найдите c по теореме Пифагора: c = √(a² + b²). Затем примените формулу высоты: h = ab/c.

Что делать, если даны отрезки на гипотенузе (AH и BH)?

Если известны AH = p и BH = q, то высота к гипотенузе считается по формуле h = √(p·q). Обычно в условии такие отрезки появляются, когда высота уже проведена и гипотенуза разделена на части.

Можно ли найти высоту, зная площадь треугольника и гипотенузу?

Да. Площадь прямоугольного треугольника можно записать как S = (1/2)·c·h, где c — гипотенуза, h — искомая высота. Тогда h = 2S/c. Этот способ часто удобен, когда S задано числом.

Как связана высота к гипотенузе с тригонометрией?

Пусть угол A — один из острых углов прямоугольного треугольника. Тогда a = c·sin A и b = c·cos A, а высота h = ab/c. После подстановки получаем h = c·sin A·cos A = (c/2)·sin 2A.

Чем отличается задача для не прямоугольного треугольника?

Для произвольного треугольника формулы h = ab/c или h = √(p·q) именно в таком виде не применяются, потому что там используется структура прямоугольного треугольника и подобие специальных прямоугольных треугольников. Однако высоту как расстояние от вершины до прямой можно найти через общую формулу площади.

Калькулятор высоты к гипотенузе