МатематикаГеометрия

Как найти угол зная стороны

Формулы и примеры расчёта углов треугольника по сторонам. Теорема косинусов для трёх сторон и тригонометрические функции для прямоугольного треугольника.

a
Противолежащая углу A
b
Противолежащая углу B
c
Противолежащая углу C
a
b

Похожие калькуляторы и статьи

Все калькуляторы раздела «Геометрия» (262) →

Способ нахождения угла зависит от того, какие стороны известны и о каком треугольнике идёт речь. Есть два основных случая: три стороны произвольного треугольника и две стороны прямоугольного треугольника.

По трём сторонам: теорема косинусов

Если известны длины всех трёх сторон, используйте теорему косинусов. Она связывает сторону с двумя соседними сторонами и углом между ними:

a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A

Для нахождения угла A формула преобразуется:

A=arccos⁡(b2+c2−a22bc)A = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)

Обозначения:

  • a — сторона, лежащая напротив искомого угла A
  • b и c — стороны, образующие искомый угол

Аналогично находятся углы B и C — нужно переставить буквы в формуле.

Пример. Стороны треугольника: a = 5, b = 6, c = 7. Найдём угол A:

cos⁡A=62+72−522⋅6⋅7=36+49−2584=6084≈0,714\cos A = \frac{6^2 + 7^2 - 5^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{36 + 49 - 25}{84} = \frac{60}{84} \approx 0{,}714 A=arccos⁡(0,714)≈44,4∘A = \arccos(0{,}714) \approx 44{,}4^{\circ}

В прямоугольном треугольнике

Если один угол равен 90°, для нахождения острых углов достаточно двух сторон. Используйте тригонометрические функции.

Через катеты

Когда известны оба катета a и b:

tan⁡α=ab\tan \alpha = \frac{a}{b} α=arctan⁡(ab)\alpha = \arctan\left(\frac{a}{b}\right)

Второй острый угол: β = 90° − α.

Пример. Катеты a = 3, b = 4:

tan⁡α=34=0,75\tan \alpha = \frac{3}{4} = 0{,}75

α = arctan(0,75) ≈ 36,87°

β = 90° − 36,87° = 53,13°

Через катет и гипотенузу

Если известен катет a и гипотенуза c:

sin⁡α=ac\sin \alpha = \frac{a}{c} α=arcsin⁡(ac)\alpha = \arcsin\left(\frac{a}{c}\right)

Или через косинус:

cos⁡α=bc\cos \alpha = \frac{b}{c}

Пример. Катет a = 3, гипотенуза c = 5:

sin⁡α=35=0,6\sin \alpha = \frac{3}{5} = 0{,}6

α = arcsin(0,6) ≈ 36,87°

Проверка существования треугольника

Перед расчётом убедитесь, что три отрезка могут образовать треугольник. Должно выполняться неравенство треугольника: сумма любых двух сторон строго больше третьей.

Для сторон 3, 4, 5:

  • 3 + 4 = 7 > 5 ✓
  • 3 + 5 = 8 > 4 ✓
  • 4 + 5 = 9 > 3 ✓

Для сторон 1, 2, 4 треугольник не существует: 1 + 2 = 3 < 4.

Типичные ошибки

Путаница между стороной и углом. Угол A всегда лежит напротив стороны a. Если нужны угол между сторонами b и c, это угол A.

Неправильный режим калькулятора. Аркфункции в радианах дадут число около 0,6–1,5 вместо привычных 30–90 градусов. Проверьте режим DEG.

Попытка использовать arcsin для тупых углов. Арксинус всегда возвращает острый угол. Если треугольник тупоугольный, теорема синусов не покажет тупой угол. Теорема косинусов лишена этого недостатка — арккосинус корректно работает в диапазоне от 0° до 180°.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли найти угол, зная только две стороны?
Только для прямоугольного треугольника. В произвольном треугольнике двух сторон недостаточно — нужна третья сторона или угол между ними. Без третьего элемента треугольник не определяется однозначно.
Какой метод точнее: теорему косинусов или синусов?
Для нахождения углов по трём сторонам теорема косинусов однозначнее. Теорема синусов даёт два возможных угла (острый и тупой), и нужно дополнительно определять, какой верный. Арккосинус всегда даёт один правильный ответ.
Что означает ошибка при вычислении арккосинуса?
Значение косинуса вышло за пределы диапазона от −1 до 1. Это значит, что три отрезка не могут образовать треугольник — нарушено неравенство треугольника. Проверьте исходные данные.
Как проверить правильность найденных углов?
Сложите три вычисленных угла. Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°. Небольшое расхождение в сотых долях градуса — нормально, это погрешность округления.
Зачем нужны и градусы, и радианы?
В инженерных калькуляторах и учебных задачах используют градусы. В программировании и высшей математике — радианы. Проверьте настройку калькулятора: режим DEG для градусов, RAD для радианов.