Как найти угол пересечения двух прямых

Определение угла пересечения

Когда две прямые на плоскости пересекаются, они образуют четыре угла. Среди них — две пары равных вертикальных углов и четыре пары смежных (в сумме дающих 180°).

Углом пересечения прямых называют наименьший из образованных углов — то есть острый (или прямой, если угол равен 90°). Этот угол всегда лежит в диапазоне от 0° до 90°.

Формула угла пересечения через угловые коэффициенты

Пусть две прямые заданы уравнениями в виде $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$. Угловой коэффициент $k$ связан с углом наклона прямой к оси Ox соотношением:

$k = \tg \alpha$

где $\alpha$ — угол между прямой и положительным направлением оси Ox.

Тогда угол $\varphi$ между прямыми находится по формуле:

Модуль берётся для гарантии острого угла: если вычисления дают тупой угол, берётся его смежный (180° минус результат), что эквивалентно взятию абсолютного значения тангенса.

Пример расчёта

Найдём угол пересечения прямых $y = \frac{2}{3}x$ и $y = 3x + 1$.

Определяем угловые коэффициенты: $k_1 = \frac{2}{3}, \quad k_2 = 3$

Проверяем особые случаи: $k_1 \neq k_2 \Rightarrow \text{не параллельны и не совпадают}$ $k_1 \cdot k_2 = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2 \neq -1 \Rightarrow \text{не перпендикулярны}$

Подставляем в формулу:

Следовательно:

Частные случаи

Параллельные прямые

Если $k_1 = k_2$, прямые параллельны (или совпадают при $b_1 = b_2$). Угол пересечения равен 0°.

Перпендикулярные прямые

Если $k_1 \cdot k_2 = -1$, прямые перпендикулярны. Угол пересечения равен 90°.

Угол пересечения по рисунку

Если задан чертёж с уже построенными прямыми:

1. Найдите любой из четырёх образованных углов.
2. Если этот угол острый — он и есть искомый угол пересечения.
3. Если угол тупой — вычтите его из 180°: $\varphi = 180° - \alpha_{\text{тупой}}$.

Пример

При пересечении прямых $a$ и $b$ измерен угол 115°. Это тупой угол.

$\varphi = 180° - 115° = 65°$

Ответ: угол пересечения равен 65°.

Пошаговый алгоритм

1. Определите способ задания прямых. Если это уравнения $y = kx + b$ — переходите к шагу 2. Если дан чертёж — к шагу 4.
2. Проверьте частные случаи: равенство $k_1 = k_2$ (параллельность) или $k_1 \cdot k_2 = -1$ (перпендикулярность).
3. Примените формулу $\tg \varphi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$. Если в знаменателе получается 0 — это случай перпендикулярных прямых (tg не существует, угол равен 90°).
4. Переведите тангенс в градусы с помощью арктангенса или таблицы значений.
5. Убедитесь, что результат не превышает 90°. Если больше — возьмите смежный угол.