Как найти угол многоугольника

Сумма углов: базовая формула

Почти все задачи на углы многоугольника решаются через одну формулу. Для любого простого (без самопересечений) многоугольника с $n$ сторонами сумма внутренних углов равна:

Дальше всё зависит от того, что дано:

• правильный многоугольник — все углы равны, поэтому сумму делят на $n$;
• неправильный многоугольник — из суммы вычитают известные углы, остаток приходится на неизвестный;
• известны стороны, а не углы — подключают теорему косинусов или скалярное произведение векторов.

Как считать число сторон

Число сторон равно числу вершин, и это первое, что нужно установить. Вершиной считается только точка излома контура: точки, лежащие на стороне изнутри, вершинами не являются. Ошибка в подсчёте $n$ автоматически приводит к неверной сумме, а значит, и к неверному ответу.

Быстрая проверка: сумма углов обязана быть кратна 180°. Если получилось 700° или 1000°, где-то ошибка.

Откуда берётся формула 180°·(n − 2)

Выберите любую вершину и проведите из неё все диагонали. Соседние вершины соединять не нужно — с ними уже есть общие стороны. Поэтому диагоналей окажется $n - 3$, а сама фигура распадётся ровно на $n - 2$ треугольника.

Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а вместе углы треугольников складываются в углы многоугольника при каждой вершине. Отсюда и формула: $180^\circ \cdot (n - 2)$.

Угол правильного многоугольника

У правильного многоугольника равны и стороны, и углы, поэтому сумму просто делят на их количество:

Эту же формулу удобно записать иначе — через внешний угол:

Например, для правильного шестиугольника: $180^\circ - 360^\circ / 6 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Для восьмиугольника: $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Как найти один неизвестный угол

Если многоугольник неправильный, порядок действий такой:

1. Посчитайте число сторон $n$.
2. Найдите сумму всех углов: $180^\circ \cdot (n - 2)$.
3. Сложите известные углы.
4. Вычтите второе из первого.

Пример 1. В выпуклом пятиугольнике четыре угла равны 80°, 100°, 120° и 140°. Сумма всех углов: $180^\circ \cdot 3 = 540^\circ$. Сумма известных: 80 + 100 + 120 + 140 = 440°. Пятый угол: 540° − 440° = 100°.

Пример 2. В шестиугольнике даны углы 100°, 110°, 120°, 130°, а два оставшихся равны между собой. Сумма углов: $180^\circ \cdot 4 = 720^\circ$. Известные дают 460°, на два равных угла остаётся 260°, значит каждый равен 130°.

Таблица значений

Внешний и центральный углы

Внешний угол смежен с внутренним при той же вершине и равен $180^\circ$ минус внутренний. Если взять по одному внешнему углу при каждой вершине, их сумма всегда составит 360° — для любого многоугольника, независимо от $n$. У правильного $n$-угольника каждый внешний угол равен $360^\circ / n$.

Центральный угол правильного многоугольника — это угол с вершиной в его центре, опирающийся на одну сторону. Он тоже равен $360^\circ / n$, то есть совпадает с внешним.

Если известны стороны, а не углы

Когда углы не даны, но известны длины сторон, работают с теоремой косинусов. Для угла $C$ между сторонами $a$ и $b$ с противолежащей стороной $c$:

Пример. Стороны треугольника равны 5, 7 и 8. Найдём угол напротив стороны 8:

Угол равен arccos(0,1429) ≈ 81,8°.

Если вершины заданы координатами, угол при вершине $B$ находят через векторы $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$:

Частые ошибки

• Путают сумму и один угол. $180^\circ \cdot (n - 2)$ — это сумма всех углов; чтобы получить один угол правильного многоугольника, результат нужно разделить на $n$.
• Считают $n$ по картинке. В школьной задаче число сторон берут из условия, а не пересчитывают «штрихи» на чертеже; лишняя точка на стороне — не вершина.
• Применяют формулу к самопересекающейся фигуре. Для звёздчатого многоугольника сумма углов считается иначе.
• Забывают, что $n$ — целое и не меньше 3. Если из формулы выходит $n = 4{,}5$, значит, условие задачи или вычисления содержат ошибку.
• Подменяют внутренний угол внешним. Внешний — это дополнение внутреннего до 180°, а не второй угол той же вершины.

Проверить расчёты удобно обратным действием: сложите найденные углы и убедитесь, что получилась сумма $180^\circ \cdot (n - 2)$.