Как найти угол между векторами: формулы и методы

Для решения большинства задач по геометрии, физике и программированию (особенно в разработке игр и 3D-графике) требуется определить угол между двумя векторами. Поскольку векторы можно свободно переносить в пространстве, для вычисления угла их принято сводить в одну точку (начало координат).

Существует два основных способа нахождения угла: через скалярное произведение (самый популярный) и через векторное произведение.

Способ 1: Через скалярное произведение (косинус)

Это универсальный метод, который работает в любом количестве измерений (2D, 3D и выше). В его основе лежит связь между длиной векторов и косинусом угла между ними.

Основная формула

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется как: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$

Отсюда выражаем косинус искомого угла: $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Расчёт в координатах

Если векторы заданы координатами $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$, расчет делится на три простых шага:

1. Находим скалярное произведение (сумма произведений соответствующих координат): $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$

2. Вычисляем длины (модули) векторов по теореме Пифагора: $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$ $|\vec{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}$

3. Вычисляем косинус и ищем угол: Подставляем значения в формулу $\cos \alpha$. Чтобы получить сам угол $\alpha$, используем функцию арккосинуса ($\arccos$): $\alpha = \arccos\left(\frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}\right)$

Пример: Даны векторы $\vec{a} = (3, 0)$ и $\vec{b} = (3, 3)$.

1. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 3 + 0 \cdot 3 = 9$.
2. $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$; $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} \approx 4.24$.
3. $\cos \alpha = 9 / (3 \cdot 4.24) \approx 0.707$.
4. $\alpha = \arccos(0.707) = 45^\circ$.

Способ 2: Через векторное произведение (синус)

Этот метод применяется только в трехмерном пространстве (3D). Он позволяет найти синус угла, что полезно, если угол очень мал или если вам нужно найти площадь параллелограмма, образованного векторами.

Формула

Длина вектора, полученного в результате векторного произведения $\vec{a} \times \vec{b}$, равна: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin \alpha$

Отсюда синус угла: $\sin \alpha = \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Особенность: Поскольку синус положителен для всех углов от 0° до 180°, этот метод не позволяет определить, является ли угол тупым (больше 90°). Для этого всё равно придется проверить знак скалярного произведения.

Как быстро определить тип угла по скалярному произведению

Если вам не нужно точное значение в градусах, а достаточно знать характер угла, посмотрите на знак результата скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b}$:

Резюме: что выбрать?

• Если нужно просто найти угол $\to$ используйте скалярное произведение. Это самый короткий путь с минимальным количеством вычислений.
• Если работаете с 3D-графикой и нужна нормаль к плоскости $\to$ используйте векторное произведение.
• Если векторы сонаправлены $\to$ угол равен $0^\circ$.
• Если векторы противоположно направлены $\to$ угол равен $180^\circ$.