МатематикаГеометрия

Как найти сторону равнобедренного треугольника

Формулы для нахождения боковой стороны и основания равнобедренного треугольника. Примеры решения задач с пояснениями.

Похожие калькуляторы и статьи

Все калькуляторы раздела «Геометрия» (257) →

Равнобедренный треугольник: ключевое свойство

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми, а третья — основанием. Главная особенность такой фигуры: высота, проведённая из вершины на основание, делит основание пополам. Это позволяет свести задачу к прямоугольному треугольнику и использовать теорему Пифагора.

Формулы для нахождения боковой стороны

Через основание и высоту

Высота hh делит основание bb на два равных отрезка по b/2b/2. Из прямоугольного треугольника:

a=h2+(b2)2a = \sqrt{h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}

Пример: основание b=12b = 12 см, высота h=8h = 8 см.

a=82+62=64+36=100=10 смa = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}

Через основание и угол при основании

Если известны основание bb и угол при основании β\beta:

a=b2⋅cos⁡βa = \frac{b}{2 \cdot \cos \beta}

Пример: основание b=10b = 10 см, угол β=40°\beta = 40°.

a=102⋅cos⁡40°=102⋅0,766≈6,53 смa = \frac{10}{2 \cdot \cos 40°} = \frac{10}{2 \cdot 0,766} \approx 6{,}53 \text{ см}

Через основание и угол при вершине

Если известны основание bb и угол при вершине α\alpha:

a=b2⋅sin⁡α2a = \frac{b}{2 \cdot \sin\frac{\alpha}{2}}

Пример: основание b=8b = 8 см, угол α=60°\alpha = 60°.

a=82⋅sin⁡30°=82⋅0,5=8 смa = \frac{8}{2 \cdot \sin 30°} = \frac{8}{2 \cdot 0,5} = 8 \text{ см}

Через площадь и основание

Площадь равнобедренного треугольника S=b⋅h2S = \frac{b \cdot h}{2}, откуда h=2Sbh = \frac{2S}{b}. Подставляем в формулу через высоту:

a=(2Sb)2+(b2)2a = \sqrt{\left(\frac{2S}{b}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}

Пример: площадь S=24S = 24 см², основание b=8b = 8 см.

h=2⋅248=6 см,a=62+42=52≈7,21 смh = \frac{2 \cdot 24}{8} = 6 \text{ см}, \quad a = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} \approx 7{,}21 \text{ см}

Формулы для нахождения основания

Через боковую сторону и высоту

Из того же прямоугольного треугольника:

b=2⋅a2−h2,h<ab = 2 \cdot \sqrt{a^2 - h^2}, \quad h < a

Пример: боковая сторона a=13a = 13 см, высота h=12h = 12 см.

b=2⋅169−144=2⋅25=10 смb = 2 \cdot \sqrt{169 - 144} = 2 \cdot \sqrt{25} = 10 \text{ см}

Через боковую сторону и угол при основании

b=2a⋅cos⁡βb = 2a \cdot \cos \beta

Пример: боковая сторона a=7a = 7 см, угол β=35°\beta = 35°.

b=2⋅7⋅cos⁡35°=14⋅0,819=11,47 смb = 2 \cdot 7 \cdot \cos 35° = 14 \cdot 0,819 = 11{,}47 \text{ см}

Через боковую сторону и угол при вершине

b=2a⋅sin⁡α2b = 2a \cdot \sin\frac{\alpha}{2}

Пример: боковая сторона a=10a = 10 см, угол α=80°\alpha = 80°.

b=2⋅10⋅sin⁡40°=20⋅0,643=12,86 смb = 2 \cdot 10 \cdot \sin 40° = 20 \cdot 0,643 = 12{,}86 \text{ см}

Через периметр

Если известен периметр PP:

b=P−2ab = P - 2a

Пример: периметр P=30P = 30 см, боковая сторона a=10a = 10 см.

b=30−2⋅10=10 смb = 30 - 2 \cdot 10 = 10 \text{ см}

Сводная таблица формул

Что найтиЧто известноФормула
Боковая сторона aaОснование bb, высота hha=h2+(b/2)2a = \sqrt{h^2 + (b/2)^2}
Боковая сторона aaОснование bb, угол β\betaa=b2cos⁡βa = \frac{b}{2 \cos \beta}
Боковая сторона aaОснование bb, угол α\alphaa=b2sin⁡(α/2)a = \frac{b}{2 \sin(\alpha/2)}
Основание bbБоковая aa, высота hhb=2a2−h2b = 2\sqrt{a^2 - h^2}
Основание bbБоковая aa, угол β\betab=2acos⁡βb = 2a \cos \beta
Основание bbБоковая aa, угол α\alphab=2asin⁡(α/2)b = 2a \sin(\alpha/2)
Основание bbПериметр PP, боковая aab=P−2ab = P - 2a
Боковая aaПериметр PP, основание bba=P−b2a = \frac{P - b}{2}

Примеры решения задач

Задача 1

Условие: Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 15 см, основание — 18 см. Найдите высоту.

Решение:

h=a2−(b2)2=225−81=144=12 смh = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}

Задача 2

Условие: Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40°, боковая сторона — 12 см. Найдите основание.

Решение:

b=2a⋅sin⁡α2=2⋅12⋅sin⁡20°=24⋅0,342=8,21 смb = 2a \cdot \sin\frac{\alpha}{2} = 2 \cdot 12 \cdot \sin 20° = 24 \cdot 0,342 = 8{,}21 \text{ см}

Задача 3

Условие: Периметр треугольника 40 см, основание 12 см. Найдите боковую сторону.

Решение:

a=P−b2=40−122=14 смa = \frac{P - b}{2} = \frac{40 - 12}{2} = 14 \text{ см}

Когда какую формулу выбрать

  1. Известны основание и высота — теорема Пифагора: a=h2+(b/2)2a = \sqrt{h^2 + (b/2)^2}.
  2. Известны боковая сторона и один из углов — тригонометрия: основание через косинус, боковая через секанс.
  3. Известны периметр и одна сторона — простая арифметика: b=P−2ab = P - 2a или a=(P−b)/2a = (P - b)/2.
  4. Известна площадь — сначала найдите высоту, затем применяйте формулу через высоту.

Запомните главное: в равнобедренном треугольнике высота всегда делит основание пополам. Это превращает фигуру в два одинаковых прямоугольных треугольника, и дальше работают стандартные геометрические методы.

Часто задаваемые вопросы

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника через основание и высоту?
Боковая сторона a вычисляется по теореме Пифагора: a = √(h² + (b/2)²), где h — высота, b — основание. Это работает, потому что высота делит основание пополам.
Чему равна сторона равнобедренного треугольника через угол при основании?
Если известна боковая сторона a и угол при основании β, то основание b = 2a · cos β. Или наоборот: a = b/(2 · cos β).
Как найти сторону равнобедренного треугольника через угол при вершине?
Основание b = 2a · sin(α/2), где α — угол при вершине. Боковая сторона a = b/(2 · sin(α/2)).
Почему высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам?
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, проведённая к основанию, также является медианой и биссектрисой, поэтому она делит основание на две равные части.
Как найти сторону равнобедренного треугольника через периметр?
Если периметр P и основание b известны, то боковая сторона a = (P − b)/2. Если известны P и боковая сторона a, то основание b = P − 2a.