Радиус вписанной окружности: формулы и примеры

Универсальная формула для треугольника

Если в треугольник вписана окружность, её радиус $r$ находят через площадь фигуры $S$ и полупериметр $p$:

где $p = \frac{a + b + c}{2}$, а $a$, $b$, $c$ — длины сторон.
Эта формула работает для треугольника любого типа: остроугольного, тупоугольного и прямоугольного. Выводится она из суммы площадей трёх треугольников с общей вершиной в центре вписанной окружности: каждый из них имеет высоту $r$, поэтому $S = \frac{1}{2}r(a+b+c) = r \cdot p$.

Если стороны даны числами, а площадь неизвестна, вычислите $S$ по формуле Герона:

Прямоугольный треугольник

Для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ есть более простое выражение:

Доказательство опирается на свойство отрезков касательных, проведённых из одной точки. Из центра окружности опустим перпендикуляры на стороны — они равны $r$ и образуют с катетами квадрат со стороной $r$. Тогда катеты распадаются на отрезки $r$ и $b-r$, $r$ и $a-r$, а гипотенуза равна сумме двух последних: $c = (a-r) + (b-r)$. Разрешив уравнение относительно $r$, получаем искомую формулу.

Равносторонний треугольник

В правильном треугольнике со стороной $a$ центр вписанной окружности совпадает с центром описанной и совпадает с точкой пересечения медиан. Радиус составляет:

Получить это выражение можно, подставив площадь равностороннего треугольника $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ и полупериметр $p = \frac{3a}{2}$ в универсальную формулу $r = S/p$.

Многоугольники: когда применима формула $r = S/p$

Формула $r = S/p$ справедлива не только для треугольников, но и для любого многоугольника, в который можно вписать окружность. Необходимое условие существования такой окружности: стороны должны быть касательными к одной и той же окружности, а центр лежит на пересечении биссектрис углов многоугольника.

Для четырёхугольника критерий существования вписанной окружности — равенство сумм противоположных сторон:

Частные случаи:

• Квадрат: $r = \frac{a}{2}$
• Ромб: $r = \frac{h}{2}$, где $h$ — высота ромба
• Правильный $n$-угольник: $r = \frac{a}{2\tan(\pi/n)}$, где $a$ — длина стороны

Пример расчёта

Найдём радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами $7$, $15$ и $20$.

1. Полупериметр: $$p = \frac{7 + 15 + 20}{2} = 21$$
2. Площадь по Герону: $$S = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1} = \sqrt{1764} = 42$$
3. Радиус: $$r = \frac{42}{21} = 2$$

Ответ: $r = 2$.

Дополнительные формулы для треугольника

Если известны углы и радиус описанной окружности $R$, можно использовать:

Также радиус выражается через сторону и прилежащий угол:

Эти соотношения удобны в тригонометрических задачах, когда площадь находить не требуется.

Частые ошибки

• Путаница с описанной окружностью. Радиус описанной окружности $R$ вычисляется иначе ($R = \frac{abc}{4S}$), а её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров, не биссектрис.
• Применение $r = S/p$ к произвольному четырёхугольнику. Формула верна только для описанных четырёхугольников, удовлетворяющих условию $a+c = b+d$.
• Неверный полупериметр. Часто забывают разделить периметр пополам: в формуле $r = S/p$ используется именно $p$, а не $P$.