Математика Геометрия10 октября 2026 г.

Как найти радиус треугольника: R и r

Как найти радиус треугольника? Формулы описанной и вписанной окружностей: через стороны, площадь и углы.

По трём сторонам Универсальный метод — вычисляются и R, и r По стороне и противолежащему углу Теорема синусов — вычисляется R Прямоугольный треугольник Известны два катета — вычисляются R и r Равносторонний треугольник Известна одна сторона — вычисляются R и r

Сторона a, см

Сторона b, см

Сторона c, см

Все калькуляторы раздела «Геометрия» (252) →

Что называют радиусом треугольника

Когда говорят «радиус треугольника», чаще всего имеют в виду радиус окружности, связанной с этим треугольником. Для любого треугольника можно построить две важнейшие окружности: описанную (проходит через все вершины) и вписанную (касается всех сторон изнутри). Их радиусы обозначают R и r соответственно. Именно эти величины чаще всего требуются в задачах — от школьных до инженерных. Ниже разберём, как найти радиус описанной и вписанной окружности, зная стороны, углы или площадь.

Как найти радиус описанной окружности (R)

Описанная около треугольника окружность — это окружность, на которой лежат все три вершины. Её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Радиус R зависит от формы треугольника и может быть найден несколькими способами.

Через стороны и площадь: универсальная формула

Если известны длины всех трёх сторон a, b, c, проще всего вычислить R через площадь треугольника S:

R = \frac{a b c}{4 S}

Саму площадь можно найти по формуле Герона, если известен полупериметр p = (a + b + c)/2:

S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}

Таким образом, полная формула для расчёта через стороны:

R = \frac{a b c}{4 \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}

Эта формула работает для любого треугольника — остроугольного, прямоугольного или тупоугольного.

По теореме синусов: через сторону и противолежащий угол

Теорема синусов утверждает, что отношение стороны к синусу противолежащего угла равно 2R:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

Отсюда можно выразить R, зная любую сторону и синус противолежащего угла:

R = \frac{a}{2 \sin A}

Этот способ удобен, когда даны не все стороны, а, например, одна сторона и два угла.

Частные случаи: удобные короткие формулы

Прямоугольный треугольник. Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, поэтому R равен половине гипотенузы c:

R = \frac{c}{2}

Если известны катеты a и b, гипотенузу находят по теореме Пифагора: c = √(a² + b²). Тогда R = √(a² + b²)/2.

Равнобедренный треугольник. При боковой стороне a и основании b радиус описанной окружности можно вычислить по упрощённой формуле:

R = \frac{a^2}{\sqrt{4a^2 - b^2}}

Она получается из общей формулы подстановкой a, a, b.

Равносторонний треугольник. Если сторона равна a, то:

R = \frac{a}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577 a

Пример: для стороны 10 см R ≈ 5,77 см.

Как найти радиус вписанной окружности (r)

Вписанная окружность касается всех трёх сторон треугольника изнутри. Её центр — точка пересечения биссектрис. Радиус r обычно находят через площадь и полупериметр.

Основная формула: r = S / p

Если известны площадь S и полупериметр p (p = (a + b + c)/2), радиус вписанной окружности вычисляется просто:

r = \frac{S}{p}

Это наиболее универсальный способ. Площадь S можно взять по формуле Герона или через другие данные (основание на высоту, две стороны и угол и т. п.).

Через стороны и полупериметр

Подставив формулу Герона для площади, получаем выражение только через стороны:

r = \frac{\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}{p}

или, после сокращения:

r = \sqrt{\frac{(p - a)(p - b)(p - c)}{p}}

Эта формула полезна, когда известны все три стороны.

Частные случаи

Прямоугольный треугольник. Если катеты a и b, гипотенуза c, то площадь S = a·b/2, полупериметр p = (a + b + c)/2. Подставив в r = S/p, получают удобное выражение:

r = \frac{a + b - c}{2}

Пример: катеты 3 и 4, гипотенуза 5 → r = (3 + 4 − 5)/2 = 1.

Равнобедренный треугольник. Специальной короткой формулы, как для описанной окружности, нет, но r = S/p работает без изменений. Площадь можно вычислить, например, через боковую сторону a и основание b: S = ½·b·√(a² − b²/4).

Равносторонний треугольник. При стороне a справедлива прямая связь с R и простая формула:

r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \approx 0{,}289 a

В равностороннем треугольнике всегда выполняется R = 2r.

Примеры расчёта для разных ситуаций

Пример 1. Найти R и r треугольника со сторонами 13, 14, 15 см

Шаг 1. Полупериметр: p = (13 + 14 + 15)/2 = 21 см.

Шаг 2. Площадь по Герону:

S = \sqrt{21 \cdot (21-13) \cdot (21-14) \cdot (21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84 \text{ см}^2

Шаг 3. Радиус описанной окружности: R = (13·14·15) / (4·84) = 2730 / 336 = 8,125 см.

Шаг 4. Радиус вписанной окружности: r = S / p = 84 / 21 = 4 см.

Пример 2. Прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 см

Гипотенуза c = √(5² + 12²) = 13 см.

R = c/2 = 6,5 см.

r = (5 + 12 − 13)/2 = 2 см (или через S = 30 см², p = 15 см, r = 30/15 = 2 см).

Пример 3. Найти R треугольника, если сторона a = 8, а противолежащий угол A = 30°

Используем теорему синусов: R = a / (2 sin 30°) = 8 / (2 · 0,5) = 8 / 1 = 8 см.

Что важно запомнить

Существует два основных радиуса: описанной (R) и вписанной (r) окружности.
Универсальная формула для R: R = abc / (4S), для r: r = S / p.
При неполных данных используйте теорему синусов (для R) или предварительно находите площадь.
В прямоугольном треугольнике R = c/2, r = (a + b − c)/2.
В равностороннем треугольнике R = a/√3, r = a√3/6, причём R всегда вдвое больше r.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли найти радиус треугольника, зная только одну сторону?

Зная только одну сторону, однозначно найти радиус невозможно — треугольник не задан. Нужны либо ещё две стороны, либо два угла, либо специальный тип: для равностороннего треугольника радиус вычисляется только по стороне (R = a/√3, r = a√3/6). Для произвольного треугольника необходимы дополнительные данные.

Как быстро вычислить радиус описанной окружности прямоугольного треугольника?

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, поэтому R равен половине гипотенузы: R = c/2. Это самый быстрый способ. Зная катеты, можно найти гипотенузу по теореме Пифагора и поделить пополам.

Как найти радиус вписанной окружности, если известны только катеты прямоугольного треугольника?

Если известны катеты a и b, найдите гипотенузу c = √(a² + b²), затем полупериметр p = (a + b + c)/2 и площадь S = a·b/2. Подставьте в формулу r = S/p. Можно также использовать прямое соотношение: r = (a + b − c)/2.

В чем разница между радиусом описанной и вписанной окружности?

Радиус описанной окружности (R) — это расстояние от центра окружности, проходящей через все вершины треугольника, до любой вершины. Радиус вписанной окружности (r) — расстояние от центра окружности, касающейся всех сторон изнутри, до любой стороны. R всегда больше или равен 2r, равенство достигается только в равностороннем треугольнике.

Какой радиус у равностороннего треугольника со стороной 6 см?

Для равностороннего треугольника со стороной a = 6 см радиус описанной окружности R = a/√3 ≈ 6 / 1.732 ≈ 3.46 см. Радиус вписанной окружности r = a√3/6 ≈ (6·1.732)/6 = 1.732 см. Проверка: R = 2r.

Как вычислить площадь треугольника, если она нужна для радиуса?

Площадь можно найти разными способами в зависимости от исходных данных: по формуле Герона через три стороны (S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), через две стороны и угол между ними (S = ½·ab·sinγ), или через основание и высоту. Выбор формулы для площади влияет на итоговую формулу радиуса.

Похожие калькуляторы и статьи