Как найти площадь треугольника: формулы и примеры

Обновлено 9 июля 2026 г.

Разбор всех способов: через основание и высоту, площадь через синус угла, формула Герона, для прямоугольного, через радиусы и координаты. Примеры расчётов.

S = a · h / 2

Основание a

Высота h

S = ½ · a · b · sin γ

Сторона a

Сторона b

Угол γ между ними

Единица угла

Угол γ – именно между сторонами a и b.

S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), p = (a+b+c)/2

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Стороны должны удовлетворять неравенству треугольника: каждая сторона строго меньше суммы двух других.

S = a · b / 2

Катеты a и b – стороны, прилежащие к прямому углу (90°).

Катет a

Катет b

S = ½ |x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)|

A B C

Треугольник можно “посчитать” по-разному – в зависимости от того, какие данные есть в условии: стороны, высота, углы, радиусы окружностей или даже координаты вершин. Ниже собраны основные формулы площади и практические примеры, чтобы вы быстро выбрали нужный вариант и получили правильный ответ.

Базовая формула: через основание и высоту

Самый универсальный способ:

[ S=\frac{a\cdot h}{2} ]

где:

(a) – выбранное основание (одна из сторон треугольника),
(h) – высота, опущенная перпендикулярно к прямой, содержащей основание.

Важно: для тупоугольного треугольника высота может выходить за пределы отрезка основания – это нормально, в формулу идёт именно перпендикулярное расстояние.

Через две стороны и угол между ними (формула с синусом)

Если известны стороны (a) и (b) и угол (\gamma) между ними, то:

[ S=\frac{1}{2},a,b,\sin\gamma ]

Здесь ключевой момент – именно угол между указанными сторонами. Если перепутать угол, площадь получится другой.

Мини-пример

Пусть (a=8), (b=10), (\gamma=30^\circ). Тогда (\sin 30^\circ=0.5):

[ S=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 10\cdot 0.5 = 20 ] (в квадратных единицах длины сторон)

Через три стороны: формула Герона

Когда известны три стороны (a), (b), (c), удобно использовать формулу Герона:

[ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ] где полупериметр: [ p=\frac{a+b+c}{2} ]

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным – это автоматически выполняется, если (a), (b), (c) действительно образуют треугольник.

Пример

(a=3), (b=4), (c=5). [ p=\frac{3+4+5}{2}=6 ] [ S=\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)}=\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=6 ]

Прямоугольный треугольник: самый простой случай

Если один угол равен (90^\circ), то катеты (a) и (b) дают:

[ S=\frac{a\cdot b}{2} ]

А если известны гипотенуза (c) и высота (h_c), опущенная на гипотенузу:

[ S=\frac{c\cdot h_c}{2} ]

(это всё та же идея: половина произведения основания и высоты, только “основание” выбрано по-другому)

Через радиусы окружностей

Иногда в условии встречаются радиусы вписанной и описанной окружностей.

1) Через радиус описанной окружности (R)

Если известны три стороны (a), (b), (c) и радиус описанной окружности (R), то:

[ S=\frac{a,b,c}{4R} ]

2) Через радиус вписанной окружности (r) и периметр

Если известен радиус (r) вписанной окружности и стороны (или периметр (P)), то:

[ S=r\cdot p ] где [ p=\frac{a+b+c}{2} ]

Этот вариант особенно удобен, когда (r) уже дан.

Через координаты вершин (для задач по аналитической геометрии)

Пусть точки треугольника:

(A(x_1,y_1)),
(B(x_2,y_2)),
(C(x_3,y_3)).

Тогда площадь:

[ S=\frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right| ]

Модуль нужен, чтобы избежать отрицательного знака (порядок точек может менять ориентацию).

Как быстро выбрать подходящую формулу (шпаргалка)

Есть основание и высота → используйте (;S=\frac{a h}{2}).
Есть две стороны и угол между ними → используйте (;S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma).
Даны три стороны → используйте формулу Герона.
Треугольник прямоугольный → используйте (;S=\frac{a b}{2}) (катеты).
Даны радиусы:
- (R) описанной + три стороны → (S=\frac{abc}{4R}),
- (r) вписанной + (p) (полупериметр) → (S=r\cdot p).
Даны координаты вершин → используйте формулу через определитель.

Если хотите, можно подставить значения в онлайн-форму калькулятора ниже: вы быстро получите (S) по выбранному набору параметров.

Частые ошибки при вычислении площади треугольника

Путают высоту и расстояние до прямой. Высота считается как перпендикулярное расстояние к прямой основания.
Берут не тот угол в формуле с синусом: нужен угол между теми двумя сторонами, которые стоят в формуле.
Считают Герона для “не-треугольника”. Если три стороны не образуют треугольник, выражение под корнем будет неправильным (отрицательным/мнимым).
Не переводят единицы измерения. Если стороны в сантиметрах, площадь будет в см²; если смешать метры и сантиметры, ответ станет некорректным.

Часто задаваемые вопросы

Как найти высоту треугольника, если она не дана в условии?

Если известна площадь и основание, высота находится напрямую: h = 2S/a. Но чаще S не задано: тогда h выражают через известные стороны и углы (например, h = b·sin(α), если основание – сторона a, а высота опущена на неё из вершины против стороны b). Также высоту можно вычислять через Пифагора в прямоугольных подзадачах.

Что делать, если треугольник тупоугольный и высота “уходит” за основание?

Ничего особенного: формула S = (a·h)/2 работает для любого треугольника. Высота – это перпендикулярное расстояние от вершины до прямой, содержащей основание. Даже если точка пересечения перпендикуляра лежит “вне” отрезка основания, значение h остаётся положительным расстоянием, и площадь считается верно.

Когда удобнее применять формулу Герона, а не другие способы?

Формула Герона подходит, когда известны все три стороны a, b, c, но нет высоты и не задан угол между сторонами. Она универсальна для произвольного треугольника, но требует проверки: a, b, c должны удовлетворять неравенствам треугольника, иначе выражение под корнем будет отрицательным. Результат обычно проще получить именно этим способом.

Как правильно выбрать основание и к какой стороне относится высота?

Основание выбирают как любую из сторон треугольника, а высота – как перпендикуляр к прямой, содержащей выбранное основание. Важно: нельзя подставлять “несоответствующую” высоту. Например, если вы выбрали основанием сторону a, то в формуле S = a·h/2 используется высота именно к стороне a.

Можно ли найти площадь треугольника, если даны координаты вершин?

Да. Для трёх точек A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) площадь равна половине модуля определителя: S = 1/2 · |x1(y2−y3) + x2(y3−y1) + x3(y1−y2)|. Это особенно удобно в задачах по аналитической геометрии, когда стороны и углы не приведены напрямую.

Как проверить, что вычисления площади выполнены корректно?

Проверьте три вещи: (1) единицы измерения (площадь – в квадратных единицах: см², м² и т. п.); (2) знак (при корректных входных данных S должна получиться положительной); (3) адекватность результата: площадь не может быть больше площади “максимально растянутого” треугольника при данных ограничениях сторон и должна расти при увеличении размеров треугольника.